二分搜索算法

一、简介

二分搜索适用于高效搜索已经排好序的表。搜素过程从表的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果待查找元素大于或者小于中间元素，则在表大于或小于中间元素的那一半中查找。如果在某一步骤搜索范围为0，则代表找不到。

二、实现与分析

这里给出二分搜索的一种实现：

    private int binary_search(int l, int r, int key){if(r < l)return -1;    int mid = (l + r) / 2;if(key < a[mid])return binary_search(l, mid - 1, key);else if(key > a[mid])return binary_search(mid + 1, r, key);else return mid;}

 其中，要搜索的表是数组a，整数l和r确定了搜索在表中的范围，key就是要搜索的关键字，这里是一个整数。显而易见，该算法是递归地进行的。 为了深入理解二分搜索的执行过程，可以将其过程用一棵二叉决策树来表示。决策树的构造方法如下：

最终的结果如下图所示：

每一次搜索都对应树中的一条路径。如果搜索成功，最后到达内部（圆）结点；如果搜索失败，就会到达叶子（方）结点。显然，一次搜索的时间复杂度由决策树的高度决定，即O（logN）。没有基于比较的搜索方法能比这个结果更好了。这里介绍一个来自Donald. E. Knuth的定理1：

        

小结一下，上述二分搜索算法的比较次数不会超过，并且平均每次成功的搜索需要大约logN-1次比较。没有基于比较的搜索方法优于这个算法。

下面给出另一种实现方法。在上面代码的binary_search方法中，使用了l、r和mid三个位置变量。而实际上，只需要两个变量的就够了。一个变量i记录当前的边界（左或右），一个记录搜索范围的大小。先给出代码如下：

    private int uniform_binary_search(int i, int m, int key)    {    if(key < a[i])    {    if(m == 0)    return -1;    else    return uniform_binary_search(i - (int)Math.ceil(m / 2), m / 2, key);    }    else if(key > a[i])    {    if(m == 0)    return -1;    else    return uniform_binary_search(i + (int)Math.ceil(m / 2), m / 2, key);    }    else    return i;    }

注意，这个算法执行前i设置为N/2向上取整，m设置为N/2向下取整。向左搜索时，i存储了搜素范围的右边界；向右搜索时，i存储了左边界。m则始终为搜索范围的大小，即当前要搜索的元素个数为m或m-1。这个算法过程统一可以构造二叉决策树如下：

红色的结点表示有重复的搜索。方法名中uniform（统一）的含义是，在决策树中同一层次的结点的标号与其父结点的标号之差是统一的。正因为要保证这个特点，才导致有些结点重复出现。而在上面的普通二分搜索中，这个性质不满足。

三、参考资料：

1.wikipedia

2.计算机程序设计艺术第三卷 排序和查找

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修订：上面定理1中最后一个2^(k-1)应该为2^k。