形态学图像处理

来源：互联网发布：杨幂的鼻子知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/23 19:18

形态学【生】【数】 morphology

从图像中提取表达和描绘区域形状的有用图像分量，边界骨架凸壳等

1 Prerequisite P403

1 一个集合 $B$ 的反射表示为 $\hat B$ 定义如下：

$\hat B = \left\{ {w|w = - b,b \in B} \right\}$

2 如果 $B$ 是描述图像中物体的像素的几何( 二维点 )，则 $\hat B$ 是 $B$ 中 $\left( x,y \right)$ 坐标被 $\left( - x,- y \right)$ 代替的点集

3 集合 $B$ 按照 $z = \left( z_1,z_2 \right)$ 的平移 $\left( B \right)_z$ 定义为：

${\left( B \right)_z} = \left\{ {c|c = b + z,b \in B} \right\}$

4 形态学中几何的泛着和平移广泛用来表达基于结构元( SE ) 的操作：研究一副图像中感兴趣特性所用的小集合或子图像。

* 阴影方块—— SE的成员

* 标记 "×"—— 不关心条件

* 标记 "·" —— 中心位置

* 白色背景—— 为图像操作，添加最小可能数量的背景元素形成 “矩形阵列”

2 腐蚀和膨胀

1 腐蚀

$Z^2$ 中的集合 $A$ 和 $B$ ， $A \ominus B$ 表示 $B$ 对 $A$ 的腐蚀

$A \ominus B = \left\{ {z|{{\left( B \right)}_z} \subseteq A} \right\}$

意义： $B$ 包含在 $A$ 中， $B$ 不予背景共享任何公共元素，故腐蚀表达式等价于：

$A \ominus B = \left\{ {z|{{\left( B \right)}_z} \cap {A^c} = \emptyset } \right\}$

其中 $A^c$ 是 $A$ 的补集。

例子： wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Erosion_(morphology)

2 膨胀

$A \oplus B$ 表示 $B$ 对 $A$ 的膨胀，定义为：

$A \oplus B = \left\{ {z|{{\left( {\hat B} \right)}_z} \cap A \ne \emptyset } \right\}$

意义： $\hat B$ 和 $A$ 至少有一个元素是重叠的等价于：

$A \oplus B = \left\{ {z|\left[ {{{\left( {\hat B} \right)}_z} \cap A} \right] \subseteq A} \right\}$

对偶性

* 膨胀和腐蚀彼此关于集合求补运算和反射运算是对偶的，即

${\left( {A \ominus B} \right)^c} = {A^c} \oplus {{\hat B}^c}$ 以及 ${\left( {A \oplus B} \right)^c} = {A^c} \ominus {{\hat B}^c}$

$B$ 对 $A$ 的腐蚀，是 $\hat B$ 对 $A^c$ 膨胀的补，反之亦然。

*证明：P407

3 开操作与闭操作

开操作：一般会平滑物体的轮廓。断开较窄的狭颈并且消除细的突出物

$A \circ B = \left( {A \ominus B} \right) \oplus B$

闭操作：同样也会平滑轮廓的一部分，但与开操作相反，他通常会弥合较窄的间断和西昌的沟壑，消除小的孔洞，填补轮廓线中的断裂

$A \bullet B = \left( {A \oplus B} \right) \ominus B$

4 击中或击不中变换( HMT )

*用于形状检测的基本工具

☆ P411 & http://blog.sina.com.cn/s/blog_4ca086fc0100ie18.html

5 基本形态学算法

1 边界提取

做法： $\beta \left( A \right)$ 表示集合 $A$ 的边界，通过 $B$ 对 $A$ 腐蚀，而后执行 $A$ 和腐蚀结果之间集合做差

理解：将原图像边界缩小一圈，再使用图像与其求差

$\beta \left( A \right) = A - \left( {A \ominus B} \right)$

2 孔洞填补

P425 书上的方法好像有错

% MatlabI = [    0 0 0 0 0 0    0 1 1 1 1 0    0 1 0 0 1 0    0 1 0 0 1 0    0 1 0 0 1 0    0 1 0 0 1 0    0 1 1 1 1 0    0 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 1];    I = logical(I);subplot(231);imshow(~I);title('I');% I 的反I_c = logical(~I);subplot(232);imshow(~I_c);title('I^c  I 的反');% F 是边界处理后的图像% 边界元素 = 1 - I(i,j)[r c] = size(I);F = zeros(r,c)for i = 1 : r    for j = 1 : c        if i==1 || j==1 || i==r || j==c            F(i,j) = 1 - I(i,j);        end    endendsubplot(233);imshow(~F);title('经过处理边界图像 F');% B在F上做膨胀B = ones(3);TMP_F = zeros(r+2,c+2);TMP_F([2:r+1], [2:c+1]) = F;TMP = zeros(r+2,c+2);for i = 2:r+1    for j = 2:c+1        if TMP_F(i,j) == 1            TMP(i-1,j-1) = 1;            TMP(i-1,j) = 1;            TMP(i-1,j+1) = 1;            TMP(i,j-1) = 1;            TMP(i,j+1) = 1;            TMP(i+1,j-1) = 1;            TMP(i+1,j) = 1;            TMP(i+1,j+1) = 1;        end    endendF_oplus_B = TMP([2:r+1], [2:c+1]);subplot(234);imshow(~F_oplus_B);title('F \oplus B ');% 经过腐蚀的F交上 I^c (I的反)F_oplus_B_cap_I_c = xor(F_oplus_B,I_c);subplot(235);imshow(~F_oplus_B_cap_I_c);title('F \oplus B \cap I^c');% 取反 OKsubplot(236);imshow(F_oplus_B_cap_I_c);title('final');

补洞不同方法 http://codesmesh.com/hole-filling-of-image-in-matlab/

3 连通分量提取

${X_k} = \left( {{X_{k - 1}} \oplus B} \right) \cap {\text{A}} \ \ \ k=1,2,3,\ldots$

* MATLAB http://www.mathworks.cn/cn/help/images/ref/bwlabel.html

4 凸壳

5 细化

6 粗化

7 骨架

8 裁剪

9 形态学重建

6 灰度级形态学