算法导论 3.1-6

问题

证明：一个算法的运行时间是当且仅当其最坏情况运行时间是，且最佳情况运行时间是

分析

证明：

1. 充分条件：
   算法的运行时间为T(n)
   由题意可知，存在c1,c2,n0,当n>=n0时，0 < c1g(n) <= T(n) <= c2g(n)
   因为最坏运行时间Tmax(n) >= T(n)
   存在c1，n0，当n>=n0时，0 < c1g(n) <= Tmax(n)
   即最坏情况运行时间是
   同理可证最佳情况运行时间是
2. 必要条件：
   由题意得存在n0,c1使当n >= n0时0 <= c1g(n) <= Tmin(n)且存在n1,c2使当n>=n1时0 <= Tamx(n) <= c2g(n)
   因为Tmin(n) <= T(n) <= Tmax(n)
   所以当n>=max(n0,n1)时，存在c1,c2,使0 <= c1g(n) < T(n) < c2g(n)
   由渐近确界定义，得证