算法导论 3.2-4

问题

函数是否多项式有界？函数呢？

分析

看了网上的分析，要用到
---(1)
感觉这样可以去掉常数k的干扰，首先来证明(1)证明：

1. 必要性：
   根据渐近上界定义，存在n0和c，当n>=n0时，lg(f(n)) <= clgn
   
   即,k为 常数
2. 充分性：
   根据渐近上界定义，存在正常数n0和c，当n>=n0时，
   
   对两边取对数得
   
   因为c为常数，所以肯定可以找到一个常数k1，使
   
   所以此时，存在正常数n0和k1，当n>=n0时
   
   即

下面证明题目，问题就转换成lg(f(n))的渐近上届是否为lgn证明：

1. 因为 所以
   又因为不难证明所以根据传递性
   
   因为lglgn是单调增函数，所以对于任意正常数c1，不论它多大，都可以找到常数n0， 使在n>=n0时，c1lgn <= clgnlglgn
   所以在n>=n0时，对任意正常数c1，有
   即
   所以不是多项式有界的
2. 同理可得
   
   因为lglglgn <= lglgn，所以
   所以
   又因为任意多项式函数都比指数函数增长的快，所以以
   所以根据传递性以
   所以多项式有界