欧几里得扩展算法详解及POJ1061
来源:互联网 发布:昆山cnc编程培训 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 20:22
最初是在PKU的acm上刷题,刚接触1061青蛙的约会这道题的时候写了个简单暴力的方法,在一定范围内感觉挺对的,但是提交后WA了,于是在一起K题的战友那里第一次听说了这个算法——欧几里得扩展算法。费了很大的劲之后,终于有些了解这个算法了,在这记录下。
所谓扩展欧几里得算法就是给定一组a,b,求aX+bY=gcd(a,b)的解(gcd表示最大公约数,根据数论中的知识,这个方程一定有解)。下面是求解的代码:
public static int x,y;public static int extendgcd(int a,int b){if(b==0){x=1;y=0;return a;}int d=extendgcd(b,a%b);int temp=x;x=y;y=temp-a/b*x;return d;}
为什么要这样求呢,推算过程如下:aX+bY=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bX'+(a%b)Y'=bX'+(a-a/b*b)Y'=aY'+b(X'-a/bY')(/为整除),所以,X=Y‘,Y=X'-a/bY'。
经过上面的步骤,求出了aX+bY=gcd(a,b)(0)的一组解(x,y),但在1061这个题中,要求解的是aX+bY=c(1)的最小整数解,到这只是迈出了第一步。
将式子1两边同时除以d=gcd(a,b),如果d不能整除c,说明式1没有整数解,除完后得a'X+b'Y=c'(2),将式子0两边同时除以d,得a'X+b'Y=1,显然(2)式的解就是(c'x,c'y),所有整数解的集合为(c'x+b'k,c'y-a'k)(其中k是任意整数)。因为要求最小整数解,所以还要再处理一下,以c'x+b'k为例,它的最小整数值为:(c'x%b'+b')%b',第一步是为了让它成为绝对值小于b'的整数,然后因为可能会变为负数所以加b',又因为可能原本是正数,加b'后大于b',所以又对b'取模。完整的题目1061的AC代码如下:
import java.util.Scanner;public class Main {public static long t,p;public static void main(String[] args) {Scanner in=new Scanner(System.in);long x=in.nextLong();long y=in.nextLong();long m=in.nextLong();long n=in.nextLong();long L=in.nextLong();long a=m-n,b=L,c=y-x;if(a<0){a=-a;c=-c;}long d=extendgcd(a,b);if((m==n&&x!=y)||c%d!=0)System.out.println("Impossible");else{b=b/d;c=c/d;t=c*t;System.out.println((t%b+b)%b);}}public static long extendgcd(long a,long b){if(b==0){t=1;p=0;return a;}long d=extendgcd(b,a%b);long temp=t;t=p;p=temp-a/b*t;return d;}}
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