poj1061 扩展欧几里得算法

poj1061青蛙的约会

首先要列出关系方程：
由于两个青蛙是往同一个方向跳跃的，所以两只青蛙相遇的时候，一定是一只青蛙比另一只青蛙多跳整数圈数。
设跳跃的次数为t，圈数为p，那么
    (x+mt)-(y+nt)=pl
即t(n-m)-pl=x-y
此题就是求t的最小正整数解
其中n-m、l、x-y已知，所以这是一个有两个未知量的不定方程，那么就要用扩展欧几里得算法。
扩展欧几里得算法也就是若ax+by=gcd(a,b)，则一定有整数解 x、y使方程成立
现在我们假设 a> b,接下来就要有两种情况
1) 那么当b == 0的时候gcd(a,b)=a;
那么我们现在要解的这个方程就是
ax=a
==>x = 1, y = 0;
2)当b!=0的时候，我们可以设：
ax1+by1=gcd(a,b)
bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)‚
又因为：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
由‚所以我们可以得到：==>ax1+by1=bx2+(a%b)y2
那么现在a%b又可以写成a-floor(a/b)*b ---[这里面floor()是向下取整的意思]
==>ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2
==>x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b
我们现在让系数相等也就是a和b当作未知数
==>x1 = y2
==>y1 = x2-floor(a/b)*y2
那么可以用递归来完成这个算法
下面模板：

void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){    if(b == 0)//递归出口    {        x = 1;        y = 0;        return;    }    int x1, y1;    Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);    x = y1;    y = x1-(a/b)*y1;}

而此题是比较一般的情况ax+by=c，必须c是gcd（a，b）的倍数，才能有解，先将a、b各除gcd（a，b），

那么新的a、b的最大公约数就是1，那么转化成了ax+by=1（gcd（a，b）=1），

而最终求得的解乘上c就是方程ax+by=c的解，

在求得一个x解后，不能保证是最小整数解，还要处理一下，方式是(x%b+b)%b，

其中括号内的原因是保证为正，但若x本来就大于0，那么括号处理了以后就大于b了，所以再对b求模，

下面附代码

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdlib>using namespace std;typedef long long ll;ll xx;ll yy;ll gcd(ll a,ll b){    if(b==0) return a;    else gcd(b,a%b);}void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得{    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return ;    }    ll x1,y1;    ex_gcd(b,a%b,x1,y1);    x=y1;    y=x1-(a/b)*y1;}int main(){    ll x0,y0,m,n,l;    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x0,&y0,&m,&n,&l)!=-1)    {        ll a,b,c,d;        a=n-m; b=l;        c=x0-y0;        d=gcd(a,b);        if(c%d!=0) printf("Impossible\n");//必须c是gcd（a，b）的整数倍，才有解        else        {            a=a/d;            b=b/d;            c=c/d;            ex_gcd(a,b,xx,yy);//求得一个解            xx=xx*c;            xx=(xx%b+b)%b;//求最小整数解            printf("%lld\n",xx);        }    }    return 0;}