每日一题(30)- 斐波那契数列以及应用

题目来自剑指offer

题目：

说明：

形成的斐波那契数列为：0,1,2,3,5,8...

思路：

可以直接使用递归，但是有重复子问题。可以使用迭代。

递归代码：

long Fibonacci(unsigned int n){if (n == 1){return 1;}if (n == 2){return 2;}return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);}

迭代代码：

long Fibonacci(long n){long One = 1;long Two = 2;long Sum = 0;for (long i = 3;i <= n;i++){Sum = One + Two;One = Two;Two = Sum;}return Sum;}

斐波那契数列的应用

1、兔子繁殖问题

2、矩形覆盖问题

3、青蛙跳台阶问题

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1、兔子繁殖问题

题目：兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子（一公一母）来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

思路：详细见百度百科：斐波那契数列

2、矩形覆盖问题

题目：

分析：

假设f（n）表示覆盖2 * n的矩形的总放法，其中2表示行，n表示列，我们要求f（8）。

f（1）：只有一种方法。就是找一个2*1的矩形竖着放

f（2）：两种方法，找两个2*1矩形竖着放，或者两个2*1矩形横着放

f（3）：三种方法，找三个2*1矩形都是竖着放（一种），找一个2*1矩形竖着放，两个2*1矩形竖着放（2种）

。。。之后会发现是一个斐波那契数列。。。

3、青蛙跳台阶问题

题目（1）：一个台阶总共有n级，一个青蛙一次可以跳1级，也可以跳2级。求青蛙跳上n级台阶总共有多少总跳法？

分析：

如果只有1个台阶，那么只有一种跳法；

如果只有2级台阶，那么有2种跳法。

对于一个n级台阶的楼梯来说，设跳法为 f(n) ：

假如我们先跳1个台阶，则剩下有 n-1 个台阶，跳法为 f(n-1) 次，

假如我们先跳2个台阶，则剩下 n-2 阶，跳法为 f(n-2)；

由此可以推出，对于一个n阶的楼梯，有以下这个跳台阶的公式：

题目（2）：一个台阶总共有n级，一个青蛙一次可以跳1级，也可以跳2级，也可以跳三级。求青蛙跳上n级台阶总共有多少总跳法？

分析：

如果只有1个台阶，那么只有一种跳法；

如果只有2级台阶，那么有2种跳法。

如果只有3级台阶，那么有4种跳法。

对于一个n级台阶的楼梯来说，设跳法为 f(n) ：

假如我们先跳1个台阶，则剩下有 n-1 个台阶，跳法为 f(n-1) 次，

假如我们先跳2个台阶，则剩下 n-2 阶，跳法为 f(n-2)；

假如我们先跳3个台阶，则剩下 n-3 阶，跳法为 f(n-3)；

由此可以推出，对于一个n阶的楼梯，有以下这个跳台阶的公式：

题目（3）：一个台阶总共有n级，一个青蛙一次可以跳1级，也可以跳2级......它也可以跳上n级。此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

分析：

如果只有1个台阶，那么只有一种跳法；（1）

如果只有2级台阶，那么有2种跳法。（1,1）（2）

如果只有3级台阶，那么有4种跳法。（1,1,1）（1,2）(2,1),(3)

对于一个n级台阶的楼梯来说，设跳法为 f(n) ：

假如我们先跳1个台阶，则剩下有 n-1 个台阶，跳法为 f(n-1) 次，

假如我们先跳2个台阶，则剩下 n-2 阶，跳法为 f(n-2)；

假如我们先跳3个台阶，则剩下 n-3 阶，跳法为 f(n-3)；

....

假如我们先跳n - 1个台阶，则剩下1阶，跳法为 f(1)；

假如我们先跳n个台阶，则剩下1阶，跳法为 f(0)；

由此可以推出，对于一个n阶的楼梯，有以下这个跳台阶的公式：

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... +f(n - 1)

同理有：

f(n - 1) = f(0) + f(1) + f(2) + ... +f(n - 2)

两个式子作差得到

f(n) - f(n - 1) = f(n - 1) 

即，f(n) = 2f(n - 1)

则递推式子为：