LCS最长公共子序列

LCS是Longest CommonSubsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。

复杂度
　　对于一般的LCS问题，都属于NP问题。当数列的量为一定的时，都可以采用动态规划去解决。

解法
　　动态规划的一个计算最长公共子序列的方法如下，以两个序列 X、Y 为例子：
　　设有二维数组 f[i][j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
　　f[1][1] = same(1,1)
　　f[i][j] = max{f[i-1][j-1] + same(i,j),f[i-1][j],f[i][j-1]}
　　其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。
　　此时，f[i][j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
　　该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)，时间复杂度为O(nlogn)。

代码实现
　　C语言实现：
　　#include <stdio.h>
　　#include <string.h>
　　void main()
　　{
　　char* x="aabcdababce";
　　char* y="12abcabcdace";
　　int m = strlen(x);
　　int n = strlen(y);
　　int i, j, k, l;
　　int maxlength = 0;
　　int start = 0;
　　int count = 0;//用来判断是否匹配的变量
　　for (i=1;i<=n;i++)//匹配长度的循环
　　for (j=0;j<n-i+1;j++)//y的起始位置的循环
　　for (k=0;k<m-i+1;k++)//x的起始位置的循环
　　{
　　count = 0;
　　for (l=0;l<i;l++)//判断是否匹配,代码可以优化
　　if (y[j+l] == x[k+l])
　　count++;
　　if(count==i&&i>maxlength)
　　{
　　maxlength = i;//记录最大长度
　　start = j;//记录最大长度的起起位置
　　}
　　}
　　if (maxlength==0)
　　printf("No Answer");
　　else
　　for (i=0;i<maxlength;i++)
　　printf("%c",y[start+i]);
　　}
　　下面的程序是真正的最长公共子串的程序
　　//作者:baihacker
　　//时间:9.12.2006
　　#include <stdio.h>
　　#include <string.h>
　　int b[50][50];
　　int c[50][50];
　　void lcs(x,m,y,n)
　　char *x;
　　int m;
　　char *y;
　　int n;
　　{
　　int i;
　　int j;
　　for (i=1;i<=m;i++) c[i][0] = 0;
　　for (i=1;i<=n;i++) c[0][i] = 0;
　　c[0][0] = 0;
　　for (i=1;i<=m;i++)
　　for (j=1;j<=n;j++)
　　{
　　if (x[i-1] == y[j-1])
　　{
　　c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
　　b[i][j] = 1;
　　}
　　else
　　if (c[i-1][j] > c[i][j-1])
　　{
　　c[i][j] = c[i-1][j];
　　b[i][j] = 2;
　　}
　　else
　　{
　　c[i][j] = c[i][j-1];
　　b[i][j] = 3;
　　}
　　}
　　}
　　void show(i,j,x)
　　int i;
　　int j;
　　char* x;
　　{
　　if (i==0||j==0)
　　return;
　　if (b[i][j]==1)
　　{
　　show(i-1,j-1,x);
　　printf("%c",x[i-1]);
　　}
　　else
　　if (b[i][j]==2)
　　show(i-1,j,x);
　　else
　　show(i,j-1,x);
　　}
　　void main()
　　{
　　char* x="aabcdababce";
　　char* y="12abcabcdace";
　　int m = strlen(x);
　　int n = strlen(y);
　　lcs(x,m,y,n);
　　show(m,n,x);
　　}