网络流初步总结

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相关概念：

最大流：（Maximum-Flow Problem）

      从源点　S  中间经过一些点，一些的物品运送到汇点 t 。

              中途每两点间都有个最大运送物品数。

              求从 s 到 t 最多能运送多少物品。

                                           

容量： 对于一条边 (u,v),它的物品上限（能够运送的物品最大数量）称为容量 （capacity），

    记为 c(u,v) (对于不存在的边 (u,v) , c(u,v) = 0)

流量： 实际运送物品数称为流量 （flow）

            规定：f(u,v) 和 f(v,u) 最多只有一个正数（可以均为 0），且 f(u,v) = - f(v,u)

                                        

PS：此图左边表示实际运送物品，右边表示最大容量。

结论：对于除了 s 和 t 的任意节点 u,  ∑ f(u,v)  = 0 (有些 f 为负数) 。

                                                           (u,v)∈E

最大流问题中： 容量 c 和 流量 f 满足三个性质

  容量限制 f(u,v) <= c(u,v)

  斜对称：f(u, v) = -f(u,v)

  流量平衡：对于除了 s 和 t 的任意节点 u,  ∑ f(u,v)  = 0 (有些 f 为负数) 。

                                                                                            (u,v)∈E

目标：最大化 | f |  = ∑ f(s,v)       =    ∑ f(u,t)             即从 S 点流出的净流量（=流入 t 点的净流量） 

                                 (s,v)∈E ,         (u,t)∈E

增广路算法：

残量：上图中每条边上的容量差 （称为残余流量，简称残量），

           比如说上面第二个图中 V2 到 V4 残量为 14-11 = 3; V4 到 V2 残量为 0-（-11）= 11

算法基于事实：

           残量网络中任何一个从 s 到 t 的有向道路都对应一条原图中的增广路【PS：不理解这个名词也没事继续看】。

           只要求出该道路中所有残量的最小值 d,把对应的所有边上的流量增加 d 即可，这个过程称为增广。

  也就是说只要有从起点 s 到终点 t 的路上存在流量，那么找出最小的残余流量 d

           那么这个 d 肯定是满足这条路径的每一条边的，否则找不出这样的 d

           那么这条路径上的每一条边的流量增加 d ，总流量增加 d 就好了。

           然后继续找，直到找不到为止。

  

不难证明如果增广前的流量满足 3 个条件，那么增广之后任然满足。

显然只要残量网中存在增广路，流量就可以增大。

逆命题：如果残量网中不存在增广路，则当前流就是最大流，这就是著名的增广路定理。

问题：如何找路径？ DFS ms 很慢，用 BFS

queue<int> q;memset(flow,0,sizeof(flow)); //初始化流量为 0f = 0; // 初始化总流量为 0for(;;) //BFS 找增广路{    memset(a,0,sizeof(a)); // a[i]:从起点 s 到 i 的最小残量【每次for()时 a[] 重新清 0 因此同时可做标记数组 vis】    a[s] = INF; //起点残量无线大    q.push(s);  //起点入队    while(!q.empty()) // BFS 找增广路    {        int u = q.front(); //取队首        q.pop(); // 出队        for(int v = 1; v <= n; v++) if(!a[v] && cap[u][v] > flow[u][v]) //找新节点 v        {            p[v] = u; q.push(v); //记录 v 的父亲节点,并加入 FIFO 队列            a[v] = min(a[u], cap[u][v]-flow[u][v]); // s-v 路径上的最小残量【从而保证了最后,每条路都满足a[t]】        }    }    if(a[t] == 0) break; // 找不到，则当前流已经是最大流 【t为终点】    for(int u = t; u != s; u = p[u]) // 从汇点往回走    {        flow[p[u]][u] += a[t]; // 更新正向流        flow[u][p[u]] -= a[t]; // 更新反向流    }    f += a[t]; // 更新从 S 流出的总流量}

推荐入门题目： 

hdu 3549 Flow Problem【最大流增广路入门模板题】

另外下面copy了下KB神给的最大流模板：

暂时没有看懂Orz

最大流模板：

const int MAXN=20010;//点数的最大值const int MAXM=880010;//边数的最大值const int INF=0x3f3f3f3f;struct Node{    int from,to,next;    int cap;}edge[MAXM];int tol;int head[MAXN];int dep[MAXN];int gap[MAXN];//gap[x]=y :说明残留网络中dep[i]==x的个数为yint n;//n是总的点的个数，包括源点和汇点void init(){    tol=0;    memset(head,-1,sizeof(head));}void addedge(int u,int v,int w){    edge[tol].from=u;    edge[tol].to=v;    edge[tol].cap=w;    edge[tol].next=head[u];    head[u]=tol++;    edge[tol].from=v;    edge[tol].to=u;    edge[tol].cap=0;    edge[tol].next=head[v];    head[v]=tol++;}void BFS(int start,int end){    memset(dep,-1,sizeof(dep));    memset(gap,0,sizeof(gap));    gap[0]=1;    int que[MAXN];    int front,rear;    front=rear=0;    dep[end]=0;    que[rear++]=end;    while(front!=rear)    {        int u=que[front++];        if(front==MAXN)front=0;        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)        {            int v=edge[i].to;            if(edge[i].cap!=0||dep[v]!=-1)continue;            que[rear++]=v;            if(rear==MAXN)rear=0;            dep[v]=dep[u]+1;            ++gap[dep[v]];        }    }}int SAP(int start,int end){    int res=0;    BFS(start,end);    int cur[MAXN];    int S[MAXN];    int top=0;    memcpy(cur,head,sizeof(head));    int u=start;    int i;    while(dep[start]<n)    {        if(u==end)        {            int temp=INF;            int inser;            for(i=0;i<top;i++)               if(temp>edge[S[i]].cap)               {                   temp=edge[S[i]].cap;                   inser=i;               }            for(i=0;i<top;i++)            {                edge[S[i]].cap-=temp;                edge[S[i]^1].cap+=temp;            }            res+=temp;            top=inser;            u=edge[S[top]].from;        }        if(u!=end&&gap[dep[u]-1]==0)//出现断层，无增广路          break;        for(i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)           if(edge[i].cap!=0&&dep[u]==dep[edge[i].to]+1)             break;        if(i!=-1)        {            cur[u]=i;            S[top++]=i;            u=edge[i].to;        }        else        {            int min=n;            for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)            {                if(edge[i].cap==0)continue;                if(min>dep[edge[i].to])                {                    min=dep[edge[i].to];                    cur[u]=i;                }            }            --gap[dep[u]];            dep[u]=min+1;            ++gap[dep[u]];            if(u!=start)u=edge[S[--top]].from;        }    }    return res;}

给边赋值时，养成习惯用加法，防止有重边！

//****************************************************//最大流模板//初始化：g[][],start,end//******************************************************const int MAXN=110;const int INF=0x3fffffff;int g[MAXN][MAXN];//存边的容量，没有边的初始化为0int path[MAXN],flow[MAXN],start,end;int n;//点的个数，编号0-n.n包括了源点和汇点。queue<int>q;int bfs(){    int i,t;    while(!q.empty())q.pop();//把清空队列    memset(path,-1,sizeof(path));//每次搜索前都把路径初始化成-1    path[start]=0;    flow[start]=INF;//源点可以有无穷的流流进    q.push(start);    while(!q.empty())    {        t=q.front();        q.pop();        if(t==end)break;        //枚举所有的点，如果点的编号起始点有变化可以改这里        for(i=0;i<=n;i++)        {            if(i!=start&&path[i]==-1&&g[t][i])            {                flow[i]=flow[t]<g[t][i]?flow[t]:g[t][i];                q.push(i);                path[i]=t;            }        }    }    if(path[end]==-1)return -1;//即找不到汇点上去了。找不到增广路径了    return flow[end];}int Edmonds_Karp(){    int max_flow=0;    int step,now,pre;    while((step=bfs())!=-1)    {        max_flow+=step;        now=end;        while(now!=start)        {            pre=path[now];            g[pre][now]-=step;            g[now][pre]+=step;            now=pre;        }    }    return max_flow;}