HDU 1573 X问题 同余方程 竟然wa在条件 答案是正整数上。。无语

X问题

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2400    Accepted Submission(s): 731

Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

 

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

 

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

 

Sample Input

310 31 2 30 1 2100 73 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 710000 101 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

Sample Output

103

 

Author

lwg

 

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

 

Recommend

linle

 

就是先求一个最小的数X使其满足 X%a[0]=b[0],X%a[1]=b[1] .... ，而之后的X就是 X * (a[0],a[1],a[2]...)的最小工倍数


X % a[0] = b[0] 
X % a[1] = b[1]
X % a[2] = b[2]
----
可以列出这样的方程


XX = a[0]*a1+b[0];
XX = a[1]*a2+b[1];
.....
每两条式子可以合并掉。如第1，2条 x=a1,y=a2
列出 a[0]*x+b[0]=a[1]*y+b[1]
a[0]*x+a[1]*(-y)=b[1]-b[0]
调用  gcd = extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
可以解出一个x,由定理知道，当且仅当 gcd|(b[1]-b[0])，就是b[1]-b[0]被gcd整除，此式才有解。
之后 得到a[0]/gcd * x + a[1]/gcd * (-y) = (b[1]-b[0])/gcd
另 res=(b[1]-b[0])
因为扩展欧几里得是为了 ax+by=gcd()这样的-> a/gcd * x + b/gcd * y = 1的式子服务的。  所以你的x要乘上 res/gcd , 又因为要取到一个最小的正整数x，所以。你需要再经过 这样的转换  
令 t = a[1]/gcd
x = (x*(res/gcd)%t+t)%t;  // (x+t)%t只是为了让x一定为正数
这样我们就得到了最小的x
因为 XX = a[0]*x + b[0] 


设Z = (a[0],a[1])的最小公倍数,有 Z=a[0]*a[1]/gcd;
那两条式子可以合并为  ? % Z = XX
之后就是化成了  a[0,1]=z,b[0,1]=XX,XX=Z
有新的式子 XX % a[0,1] = b[0,1]成立。
所有要说明的都讲清楚了。。一条条合并，直到解出最终的XX

代码:

/* * @author ipqhjjybj * @date  20130709 * */#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <ctime>#include <iostream>#include <cmath>#include <algorithm>#include <numeric>#include <utility>#include <cstring>#include <vector>#include <stack>#include <queue>#include <map>#include <string>using namespace std;#define inf 0x3f3f3f3f#define MAXN 100#define clr(x,k) memset((x),(k),sizeof(x))#define clrn(x,k) memset((x),(k),(n+1)*sizeof(int))#define cpy(x,k) memcpy((x),(k),sizeof(x))#define Base 10000typedef vector<int> vi;typedef stack<int> si;typedef vector<string> vs;#define sz(a) int((a).size())#define pb push_back#define all(c) (c).begin(),(c).end()#define rep(i,n) for(int i = 0;i < n;++i)#define foreach(it,c) for(vi::iterator it = (c).begin();it != (c).end();++it)#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))#define ll long longll n;int m;int a[MAXN],b[MAXN];// ax + by = gcd(a,b)inline ll extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    ll ans,t;    if(b==0){x=1,y=0;return a;}    ans=extend_gcd(b,a%b,x,y);t=x,x=y,y=t-(a/b)*y;    return ans;}bool solve(ll &XX,ll &LCM){    ll a1 = a[0],b1=b[0];    ll x,y;    for(int i = 1;i < m;i++){        ll a2 = a[i],b2 = b[i];        ll res = b2 - b1;        ll gcd = extend_gcd(a1,a2,x,y);        if(res % gcd != 0){  // 无解            return false;        }        ll t = a2 / gcd;        x = (x*(res/gcd)%t+t)%t; // 防止x是负数，并使x最小        b1 = a1*x+b1;        a1 = a1/gcd*a2;    }    XX = b1;    LCM = a1;    return true;}int main(){    //freopen("1573.in","r",stdin);    int t;    ll XX,LCM;    scanf("%d",&t);    while(t--){        cin>>n>>m;        for(int i = 0;i < m;i++)            cin>>a[i];        for(int j = 0;j < m;j++)            cin>>b[j];        bool flag = solve(XX,LCM);        int ans=0;        if(flag){                ll temp = XX;                while(temp <= n){                    temp+=LCM;                    ans++;                }                if(XX==0) //正整数 WA了我多少次啊。。                    ans--;        }        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}