两道概率面试题

问题一：

一根一米长的绳子，随机断成三段；求最短的一段的期望长度以及最长的一段的期望长度。

分析：

这道题实际是一道纯粹的概率题，没有太多技巧。自己有推导，但是概率论忘得差不多了，退出来的概率有点诡异；以后补充一下知识，再推导。

先放一下@陈利人 给出的答案吧，比较简略：绳子的长度分析，有时间，我会补充一个详细的。

问题二：

52张牌，四张A，随机打乱后问，从左到右一张一张翻直到出现第一张A，请问平均要翻几张牌？

解法I：

设n张牌要翻f(n)次，则f(4)=1。

可已将翻第一张牌分“翻到”和“没翻到”两种情况：

1）第一张就翻到的概率为n/4，这样只翻了1次；

2）第一张没翻到的概率为(n-4)/n，这样则要翻1+f(n-1)；

故：f(n) = 1*(4/n) + [1+f(n-1)]*(n-4)/n。

可得f(n)=(n+1)/5

f(52)= 53/5。

解法II：

from @陈利人：

摸到第一张A之前的都是其他的牌，那么，之前会有多少种可能呢？ 之前可能会有0张，1张。。。。48张。考虑4张A在牌中的位置，他们把其他牌分成了5份（四个点把直线分成五段）。每一份的个数从0-48不等，完全随机的情况下，每份的平均长度为48/5=9.6，摸完这9.6张后，接下来的就是第一张A，故平均需要摸9.6+1=10.6张，即11张。