图的匹配问题与最大流问题(五)——计算二分图的最大匹配

二分图的最大匹配问题第一篇已经说过，下面看看百度百科给的一些解释：

给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

计算二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)。

如图，所示，最大匹配为4：.

 

一、最大流方法计算最大匹配

最大流问题已经前面已经解释了很多了，不妨可以回去熟悉下先。最大流问题Ford-Fulkerson解法

如图所示，对于一个二分图，令已有的边的容量（Capacity）为无穷大，增加一个源点s和一个汇点t，令s和t分别连接二部图中的一个分步，并设置其容量为1。这时得到流网络G’，计算得到的最大流就等于最大二分匹配。

但是，我们还必须回答为什么这种方法是可行的呢？这里有一个简单的证明方法。首先假设，当前流网络有一个最大流，但它对应的不是最大匹配，那么，我们至少还可以向最大匹配中加入一条边，设为（u，v），显然我们还可以增加条增广路径，s->u->v->t。那么就得到一个更大的流，和假设矛盾。所以假设不成立。同理，假设当前有一个最大匹配，其对应的不是最大流，那么至少还存在一条增广路径，假设s->u->v->t。这时就可以增加边（u，v）到最大匹配中，矛盾。

代码就很简单了，构造流网络G‘，然后调用最大流算法即得到结果。因为二分图上任何匹配的势之多为min(L,R)(L代表二分图的左部点集，R代表二分图的右部点集)，所以G’中最大流的值为O（V），因此，可以再O（VE‘）=O（VE）的时间内，找出二分图的最大匹配。

二、匈牙利算法

这可是一个大名鼎鼎的算法，它实际上是对最大流算法的一种改进，提高了效率。网上有一篇文章将的很详细，很受用，可以参考：http://imlazy.ycool.com/post.1603708.html。我就不赘述了，直接上代码了，Java实现。

package matchings;import java.util.ArrayList;import java.util.HashSet;import java.util.List;import java.util.Set;import entry.Edge;import entry.Node;import maxflow.FordFulkerson;public class Matching {private double graph[][];/** * @param args */public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubdouble graph[][]={{0,0,0,1,1,0},{0,0,0,0,1,1},{0,0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0}};double graph2[][]={{0,0,0,0,0,1,0,0,0},{0,0,0,0,0,1,0,1,0},{0,0,0,0,0,0,1,1,1},{0,0,0,0,0,0,0,1,0},{0,0,0,0,0,0,0,1,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0}};Matching m=new Matching(graph2);int L[]={0,1,2,3,4};int R[]={5,6,7,8};/*double flowNetwork[][]=m.getMaxMachingFromMaxFlow(graph2,L,R);int length=flowNetwork.length;for(int i=0;i<length;i++){for(int j=0;j<length;j++){System.out.print((flowNetwork[i][j]>0?flowNetwork[i][j]:0.0)+" ");}System.out.println();}*/System.out.println(m.getMaxMaching(graph2, L, R));}public Matching(double graph[][]){this.graph=graph;}/** * Let G be a bipartite graph with partite sets U and W such that r=|U|<=|W|. * Then G contains a matching of cardinality r if and only if U is neighborly.(which means that :For any nonempty subset X,N(X)>=X) * 但是这种方法的复杂度为O(2^n),所以可以不如用下面两个算法直接求出最大匹配，然后比对是否是perfect matching * @return */public boolean hasPerfectMatching(double graph[][],int L[],int R[]){return false;}/** * 利用最大流算法实现，返回最大流网络 * @param graph * @param L * @param R * @return */public double[][] getMaxMachingFromMaxFlow(double graph[][],int L[],int R[]){int length=graph.length;double augGraph[][]=new double[length+2][length+2];for(int i=0;i<L.length;i++){augGraph[0][L[i]+1]=1.0;}for(int i=0;i<R.length;i++){augGraph[R[i]+1][length+1]=1.0;}for(int i=1;i<length+1;i++){for(int j=1;j<length+1;j++){augGraph[i][j]=graph[i-1][j-1];}}/*for(int i=0;i<length+2;i++){for(int j=0;j<length+2;j++){System.out.print(augGraph[i][j]+" ");}System.out.println();}*/double maxF=FordFulkerson.edmondsKarpMaxFlow(augGraph, 0, length+1);double flowNetwork[][]=FordFulkerson.getFlowNetwork();return flowNetwork;}/** * 匈牙利算法http://imlazy.ycool.com/post.1603708.html * (1)有奇数条边。 * (2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。   (3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）   (4)整条路径上没有重复的点。   (5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。）   (6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。）   (7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。（如图2所示，新的匹配就是所有蓝色的边，而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。）    * @param graph * @param L * @param R */public List<Edge> getMaxMaching(double graph[][],int L[],int R[]){int length=graph.length;for(int i=0;i<length;i++){for(int j=i;j<length;j++){graph[j][i]=graph[i][j];}}Set<Integer> rSet=new HashSet<Integer>();Set<Integer> lSet=new HashSet<Integer>();List<Edge> list=new ArrayList<Edge>();for(int i=0;i<L.length;i++){if(lSet.contains(L[i]))continue;Node result=null;int j=0;while(j<R.length){result=FordFulkerson.augmentPath(graph, L[i], R[j]);if(result==null||rSet.contains(R[j]))j++;else{boolean b=reverse(result,list,rSet,lSet);//反正成功，直接跳出循环，从下一个左部点继续需找增广路径，否则在继续在该点寻找增广路径，知道找不到为止if(b)break;elsej++;}}}return list;}/** * 如果证明该增广路径满足上述6个性质，则进行反转操作，并返回true，否则什么也不做，返回false * @param result * @param list * @param rSet * @param lSet * @return */private boolean reverse(Node result,List<Edge> list,Set<Integer> rSet,Set<Integer> lSet) {int idx=0;List<Edge> oddEdge=new ArrayList<Edge>();List<Edge> evenEdge=new ArrayList<Edge>();while(result.getParent()!=null){Node parent=result.getParent();if(idx%2==0){Edge e=new Edge(parent.nodeId,result.nodeId,0);evenEdge.add(e);}else{Edge e=new Edge(result.nodeId,parent.nodeId,0);oddEdge.add(e);}idx++;result=parent;}/** * 检测第6条性质 */for(int i=0;i<oddEdge.size();i++){if(!list.contains(oddEdge.get(i)))return false;else{list.remove(oddEdge.get(i));//System.out.println("remove: "+oddEdge.get(i));}}for(int i=0;i<evenEdge.size();i++){list.add(evenEdge.get(i));lSet.add(evenEdge.get(i).u);rSet.add(evenEdge.get(i).v);//System.out.println("add: "+evenEdge.get(i));}return true;}}