图的匹配问题与最大流问题(五)——计算二分图的最大匹配

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二分图的最大匹配问题第一篇已经说过，下面看看百度百科给的一些解释：

给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

计算二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)。

如图，所示，最大匹配为4：.

 

一、最大流方法计算最大匹配

最大流问题已经前面已经解释了很多了，不妨可以回去熟悉下先。最大流问题Ford-Fulkerson解法

如图所示，对于一个二分图，令已有的边的容量（Capacity）为无穷大，增加一个源点s和一个汇点t，令s和t分别连接二部图中的一个分步，并设置其容量为1。这时得到流网络G’，计算得到的最大流就等于最大二分匹配。

但是，我们还必须回答为什么这种方法是可行的呢？这里有一个简单的证明方法。首先假设，当前流网络有一个最大流，但它对应的不是最大匹配，那么，我们至少还可以向最大匹配中加入一条边，设为（u，v），显然我们还可以增加条增广路径，s->u->v->t。那么就得到一个更大的流，和假设矛盾。所以假设不成立。同理，假设当前有一个最大匹配，其对应的不是最大流，那么至少还存在一条增广路径，假设s->u->v->t。这时就可以增加边（u，v）到最大匹配中，矛盾。

代码就很简单了，构造流网络G‘，然后调用最大流算法即得到结果。因为二分图上任何匹配的势之多为min(L,R)(L代表二分图的左部点集，R代表二分图的右部点集)，所以G’中最大流的值为O（V），因此，可以再O（VE‘）=O（VE）的时间内，找出二分图的最大匹配。