最大公约数与最小公倍数的计算

求最大公约数有两种算法：试除法和辗转相除法（也许是最广为人知的数论方法）。

试除法比较扯就不提了，辗转相除法的关键在于一个恒等式：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。它和边界条件gcd(a, 0) = a共同构成了下面程序：

int gcd(int a, int b)

{

return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);

}

这个算法称为欧几里得算法（Euclid algorithm）。可以证明，gcd函数的递归层数不超过4.785lgN+1.6732，其中N=max{a, b}。导致gcd函数递归层数最多的是gcd(Fn, Fn-1)，其中Fn是Fibonacci数。

另外，利用gcd还可以求出两个整数的最小公倍数lcm(a, b)。这个结论可由唯一分解定理得到。设

a = p1^e1 * p2^e2 ... pr^er

b = p1^f1 * p2^f2 ... pr^fr

则

gcd(a, b) = p1^min{e1, f1} * p2^min{e2, f2} ... pr^min{er, fr}

lcm(a, b) = p1^max{e1, f1} * p2^max{e2, f2} ... pr^max{er, fr}

那么

gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b

但是，即使有了公式也不要大意，如果计算时使用lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)，很有可能会因为a * b溢出而挂掉，所以应该先除后乘，即lcm(a, b) = a / gcd(a, b) * b，这样一来，只要题面上保证最终答案在int范围内就不会越界。