UESTC 1685 我要长高

单调队列优化DP。

借鉴：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/07/11/2585950.html

首先建立方程，很容易想到的是，dp[i][j]表示第 i 个儿子身高为 j 的最低花费。分析题目很容易知道，当前儿子的身高花费只由前一个儿子影响。因此，

dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + abs(j-k)*C + (x[i]-j)*(x[i]-j))；其中x[i]是第i个儿子原本的身高

我们分析一下复杂度。

首先有N个儿子，这需要一个循环。再者，每个儿子有0到100的身高，这也需要一维。再再者，0到100的每一个身高都可以有前一位儿子的身高0到100递推而来。

所以朴素算法的时间复杂度是O(n^3)。题目只给两秒，难以接受！

分析方程：

当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要高时，

dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + j*C-k*C + X);   ( k<=j ) 其中 X=(x[i]-j)*(x[i]-j)。

当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要矮时，

dp[i][j]=min(dp[i-1][k] - j*C+k*C + X);   ( k>=j )

对第一个个方程，我们令 f[i-1][k]=dp[i-1][k]-k*C,  g[i][j]=j*C+X; 于是 dp[i][j] = min (f[i-1][k])+ g[i][j]。转化成这样的形式，我们就可以用单调队列进行优化了。

第二个方程同理。

以上为借鉴文章作者的思路，而我在具体实现时略有改变，即在保存并没有用一个单调队列来保存前一个人f[i-1][k]的解，由于只需要用到最优解，所以我直接用一个变量MIN来保存这个最优解。以下为具体实现：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <iostream>#include <map>#include <vector>#include <cmath>#include <stack>#include <queue>#include <cstdlib>#include <algorithm>using namespace std;//typedef __int64 int64;typedef long long ll;#define M 100005#define inf 0x3f3f3f3f#define mod 1000000007int dp[2][105] , n , c;int main(){int i;while (~scanf("%d%d",&n,&c)){int x , cnt = 1;//第一个人前面没有人，所以单独处理scanf("%d",&x);;for (i = 0 ; i < x ; i++)dp[0][i] = inf;for (i = x ; i <= 100 ; i++)dp[0][i] = (i-x)*(i-x);while (--n){int x;scanf("%d",&x);int MIN = inf;//比前一个人高for (i = 0 ; i <= 100 ; i++){int now = dp[1-cnt][i]-i*c;MIN = min(now,MIN);//保存最优解if (i < x)dp[cnt][i] = inf;elsedp[cnt][i] = MIN+i*c+(i-x)*(i-x);}MIN = inf;//比前一个人矮for (i = 100 ; i >= 0 ; i--){int now = dp[1-cnt][i]+i*c;MIN = min(now,MIN);if (i >= x)dp[cnt][i] = min(dp[cnt][i],MIN-i*c+(i-x)*(i-x));}cnt = 1-cnt;}cnt = 1-cnt;int ans = inf;for (i = 0 ; i <= 100 ; i++)ans = min(ans,dp[cnt][i]);printf("%d\n",ans);}return 0;}