容斥原理应用(求1~r中有多少个数与n互素)

 

容斥原理应用(求1~r中有多少个数与n互素)

分类： 数论2013-08-02 20:15 121人阅读 评论(0) 收藏 举报

问题：求1~r中有多少个数与n互素。

对于这个问题由容斥原理，我们有3种写法，其实效率差不多。分别是：dfs，队列数组，位运算。

先说说位运算吧：

用二进制1,0来表示第几个素因子是否被用到,如m=3，三个因子是2,3,5，则i=3时二进制是011，表示第2、3个因子被用到

[cpp] view plaincopy

1. LL Solve(LL n,LL r)  
2. {  
3.     vector<LL> p;  
4.     for(LL i=2; i*i<=n; i++)  
5.     {  
6.         if(n%i==0)  
7.         {  
8.             p.push_back(i);  
9.             while(n%i==0) n/=i;  
10.         }  
11.     }  
12.     if(n>1)  
13.         p.push_back(n);  
14.     LL ans=0;  
15.     for(LL msk=1; msk<(1<<p.size()); msk++)  
16.     {  
17.         LL multi=1,bits=0;  
18.         for(LL i=0; i<p.size(); i++)  
19.         {  
20.             if(msk&(1<<i))  //判断第几个因子目前被用到  
21.             {  
22.                 ++bits;  
23.                 multi*=p[i];  
24.             }  
25.         }  
26.         LL cur=r/multi;  
27.         if(bits&1) ans+=cur;  
28.         else       ans-=cur;  
29.     }  
30.     return r-ans;  
31. }  

然后就是dfs的实现：

[cpp] view plaincopy

1. void Solve(LL n)  
2. {  
3.     p.clear();  
4.     for(LL i=2; i*i<=n; i++)  
5.     {  
6.         if(n%i==0)  
7.         {  
8.             p.push_back(i);  
9.             while(n%i==0) n/=i;  
10.         }  
11.     }  
12.     if(n>1)  
13.         p.push_back(n);  
14. }  
15.   
16. void dfs(LL k,LL t,LL s,LL n)  
17. {  
18.     if(k==p.size())  
19.     {  
20.         if(t&1) ans-=n/s;  
21.         else    ans+=n/s;  
22.         return;  
23.     }  
24.     dfs(k+1,t,s,n);  
25.     dfs(k+1,t+1,s*p[k],n);  
26. }  
27.   
28. //主函数内是：  
29. df

 

HDU3388(二分+容斥原理)

分类： 组合博弈2013-08-04 11:49 20人阅读 评论(0) 收藏 举报

题目：Coprime

题意：给三个数m,n,k, 0<m,n,k<10^9,求与m,n同时互质的第k个正整数(按从小到达顺序排列).

思路：二分+容斥原理

          

由于所找的数与m,n互质，那么这个数不能含有m,n所包含的素因子。但是k很大，不可能一个一个生成。于是二分，找到最小

的x，使得小于或等于x的数中满足条件的数的个数大于或等于k，则这个最小值即为答案。

在判断小于或等于x的数中满足条件的数的个数时，可用容斥原理找出这些数中是m,n所含质因子倍数的数的个数。x减去所得

个数即为小于或等于x的数中满足条件的数的个数。

[cpp] view plaincopy

1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <algorithm>  
4. #include <stdio.h>  
5.   
6. using namespace std;  
7. typedef long long LL;  
8.   
9. const int N=1000005;  
10. const LL INF=(LL)1<<62;  
11.   
12. bool prime[N];  
13. LL p[N];  
14. LL fac[N];  
15. LL k,cnt,num,ans,n,m,K;  
16.   
17. void isprime()  
18. {  
19.     k=0;  
20.     int i,j;  
21.     memset(prime,true,sizeof(prime));  
22.     for(i=2; i<N; i++)  
23.     {  
24.         if(prime[i])  
25.         {  
26.             p[k++]=i;  
27.             for(j=i+i; j<N; j+=i)  
28.             {  
29.                 prime[j]=false;  
30.             }  
31.         }  
32.     }  
33. }  
34.   
35. void Solve(LL m,LL n)  
36. {  
37.     cnt=0;  
38.     LL i;  
39.     for(i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)  
40.     {  
41.         if(n%p[i]==0)  
42.         {  
43.             fac[cnt++]=p[i];  
44.             while(n%p[i]==0) n/=p[i];  
45.         }  
46.     }  
47.     if(n>1)  
48.         fac[cnt++]=n;  
49.     for(i=0; p[i]*p[i]<=m; i++)  
50.     {  
51.         if(m%p[i]==0)  
52.         {  
53.             fac[cnt++]=p[i];  
54.             while(m%p[i]==0) m/=p[i];  
55.         }  
56.     }  
57.     if(m>1)  
58.         fac[cnt++]=m;  
59. }  
60.   
61. void dfs(LL k,LL t,LL s,LL n)  
62. {  
63.     if(k==num)  
64.     {  
65.         if(t&1) ans-=n/s;  
66.         else    ans+=n/s;  
67.         return;  
68.     }  
69.     dfs(k+1,t,s,n);  
70.     dfs(k+1,t+1,s*fac[k],n);  
71. }  
72.   
73. LL Binary()  
74. {  
75.     LL l=1,r=INF,mid,ret;  
76.     while(l<=r)  
77.     {  
78.         mid=(l+r)/2;  
79.         ans=0;  
80.         dfs(0,0,1,mid);  
81.         if(ans>=K)  
82.         {  
83.             ret=mid;  
84.             r=mid-1;  
85.         }  
86.         else  
87.             l=mid+1;  
88.     }  
89.     return ret;  
90. }  
91.   
92. int main()  
93. {  
94.     isprime();  
95.     LL t,ct,tt=1;  
96.     scanf("%I64d",&t);  
97.     while(t--)  
98.     {  
99.         scanf("%I64d%I64d%I64d",&m,&n,&K);  
100.         printf("Case %d: ",tt++);  
101.         if(n==1&&m==1)  
102.         {  
103.             printf("%I64d\n",k);  
104.             continue;  
105.         }  
106.         Solve(m,n);  
107.         sort(fac,fac+cnt);  
108.         num=1;  
109.         for(LL i=1; i<cnt; i++)  
110.         {  
111.             if(fac[i]!=fac[i-1])  
112.             {  
113.                 fac[num++]=fac[i];  
114.             }  
115.         }  
116.         ct=num;  
117.         printf("%I64d\n",Binary());  
118.     }  
119.     return 0;  
120. }