URAL 1807
来源:互联网 发布:特效图片制作软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 13:59
题目大意:给出一个正整数n(n为合数),求n的一个划分(a1,a2,...,ak,...)(k>=2)。使得其在存在最大的最大公约数之下,存在最大的最小公倍数。
Time Limit:500MS Memory Limit:65536KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u
数据规模:200<=n<=10^9。
理论基础:关于LCM的一个定理:LCM(a1,a2,a3,...,ai)为各个数分解质因数以后,所有存在的素数的最高幂次之积。具体参见链接1。
题目分析:
首先,要想有最大公公约数,那么假设它们的最大公约数为G,那么:G*(a1/G,a2/G,a3,...)=n,所以要想让G最大,那么只需要a1/G+a2/G+a3/G+...最小记为M,那么取M为n的最小素数因子即可。这样一来:M<=sqrt(10^9)<31625。问题转换为求素数M的一个划分,使划分中的数的嘴小公倍数最大。
根据定理,我们可以断言:将拆分成M=若干个1+p1^k1+p2^k2+p3^k3+...(其中p1,p2,p3,...等数两两互质且为素数)时,最小公倍数最大。
证明:首先,我们证明两两互质时最大。假设LCM最大时,仍有a1<=a2存在最大公约数k,那么a1=k*p,a2=k*q,这样一来a1与a2的最小公倍数为:k*p*q。那么我们进行如下操作。因为:a1,a2不互质,所以k>=2,那么我们将:a2拆成:a2=q+(k-1)*q,这样q,q(k-1),k*p,三个数两两互质且最小公倍数大于原来的最小公倍数,所以必然两两互质。
其次,我们证明,每个数都可以表示为:若干个1+p^k(p为素数),假设:存在合数(k*q)^i(k,p均为质数,且>=2),那么此数可以证明:k^i*p^i>k^i+p^i。(利用二元函数f(x,y)=(xy)^i-x^i-y^i可以证明,这里不多展开了)。所以,最后变为对各个素数的指数的动态规划问题。那么指标该怎么定呢?因为每两个数都是互质的,所以其最小公倍数即为已经存在的各个数之积,因为不需要求解LCM,所以大可用double存储。如果害怕double过大时,存在前十六位相同,导致状态转移错无,那我们可以用log来表示,因为:log是单增函数,且log(a*b)=loga+logb,便于状态转移。
double dp[N][M];
int pre[i][j];
我们用dp[i][j]表示用前i个数表示j时最优解,即log的最大值。
用pre[i][j]表示取dp[i][j]为最优解表示j时,j剩余的数。
状态转移方程:dp[i][j]=max(dp[i-1][j-p[i]]+logp[i],dp[i][j]);这样我们最后的最优解即为:dp[N][j]里最大的那一个然后:如果:j-pre[N][j]不为零的话就要输出(j-pre[N][j])*G,下来搜索dp[N-11][j-prime[N]]。最后dp[1][j]剩下来的值即为要输出的1*G的个数了。
代码如下:
#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cmath>#include<algorithm>#include<queue>#include<ctime>#include<vector>using namespace std;typedef double db;#define DBG 0#define maa (1<<31)#define mii ((1<<31)-1)#define sl(c) ((int)(c).size()) //取字符串长度;#define forl(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i) //不带边界值循环,正序#define forle(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i) //带边界值循环,正序#define forh(i, a, b) for(int i = (a); i > (b); --i) //不带边界值,逆序#define forhe(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); --i) //带边界值,逆序#define forlc(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i < i##_b; ++i) //带别名的循环,用于不可改变值#define forlec(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i <= i##_b; ++i)#define forgc(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i > i##_b; --i)#define forgec(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i >= i##_b; --i)#define forall(i, v ) forl(i, 0, sz(v)) //循环所有#define forallc(i, v ) forlc(i, 0, sz(v))#define forlla(i, v ) forhe(i, sz(v)-1, 0)#define forls(i, n, a, b) for(int i = a; i != b; i = n[i]) //搜表用#define rep(n) for(int repp = 0; repp < (n); ++repp)#define repc(n) for(int repp_b = (n), repp = 0; repp < repp_b; ++repp)#define rst(a, v) memset(a, v, sizeof a) //把字符v填充到a reset 重置#define cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof a) //copy b 的sizeof(a)个字符到a#define rstn(a, v, n) memset(a, v, (n)*sizeof((a)[0])) //把字符v填充到a[n]之前的字节#define cpyn(a, b, n) memcpy(a, b, (n)*sizeof((a)[0])) //copy b 的 n 个字符到a#define ast(b) if(DBG && !(b)) { printf("%d!!|\n", __LINE__); while(1) getchar(); } //调试#define dout DBG && cout << __LINE__ << ">>| "#define pr(x) #x"=" << (x) << " | "#define mk(x) DBG && cout << __LINE__ << "**| "#x << endl#define pra(arr, a, b) if(DBG) {\ dout<<#arr"[] |" <<endl; \ forlec(i, a, b) cout<<"["<<i<<"]="<<arr[i]<<" |"<<((i-(a)+1)%8?" ":"\n"); \ if((b-a+1)%8) puts("");\} //数列查看#define rd(type, x) type x; cin >> x //读数inline int rdi() { int d; scanf("%d", &d); return d; }inline char rdc() { scanf(" "); return getchar(); }inline string rds() { rd(string, s); return s; }inline db rddb() { db d; scanf("%lf", &d); return d; }template<class T> inline bool updateMin(T& a, T b) { return a>b? a=b, true: false; }template<class T> inline bool updateMax(T& a, T b) { return a<b? a=b, true: false; }typedef long long LL;typedef long unsigned LU;const int N=130;const int M=40000;double dp[N][M];bool nprime[M]={true,true};vector<int> prim;int pre[N][M],n,m;void init(){ int bor=sqrt((float)M),temp; forl(i,2,bor) { if(!nprime[i]) { prim.push_back(i); for(int j=i;(temp=j*i)<=M;j++) nprime[temp]=true; } } forlec(j,bor+1,M) { if(!nprime[j])prim.push_back(j); } pra(prim,0,prim.size()-1);}void solve(int n){ rst(dp,0); int gcd=0,div; for(int i=2;prim[i]*prim[i]<=n;i++) { if(n%prim[i]) continue; gcd=n/prim[i]; break; } div=n/gcd; forl(i,1,N) { int k=prim[i-1]; forlec(j,1,div) { dp[i][j]=dp[i-1][j]; pre[i][j]=j; } while(k<=div) { forlec(j,k,div) { if(dp[i][j]<dp[i-1][j-k]+log((double)k)) { dp[i][j]=dp[i-1][j-k]+log((double)k); pre[i][j]=j-k; } } k*=prim[i-1]; } } int res[500],cnt=0,state=div,now=N-1; int lcm=0; forle(j,0,div) { if(lcm<dp[now][j]) { lcm=dp[now][j]; state=j; } } while(now) { int temp=pre[now][state]; if((state-temp)!=0)res[cnt++]=state-temp; state=temp; now--; } rep(state)res[cnt++]=1; for(int i=0;i<cnt;i++) printf("%d%c",res[i]*gcd,i==cnt-1?'\n':' ');}int main(){ init(); while(scanf("%d",&n)!=EOF) { if(n%2==0) { printf("%d %d\n",n/2,n/2); continue; } if(n%3==0) { printf("%d %d\n",n/3*2,n/3); continue; } solve(n); }return 0;}
其中,对n%2,n%3的预处理可以省去很多麻烦,而且少了一大半的数。
参考文献:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%85%AC%E5%80%8D%E6%95%B8
by:Jun_moon http://blog.csdn.net/Jsun_moon
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