Poj 2096 Collecting Bugs (dp求期望)

简说期望类问题的解法 - Kicd的日志 - 网易博客

下面内容参考了：http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/6774708

题意：一个软件有s个子系统，会产生n种bug。 某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。 求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。 

需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s， 属于某种类型的概率是1/n。 

思路：

dp[i][j]表示已经找到i种bug，并存在于j个子系统中，要达到目标状态的天数的期望。 

显然，dp[n][s]=0，因为已经达到目标了。而dp[0][0]就是我们要求的答案。 

dp[i][j]状态可以转化成以下四种： 

dp[i][j]    发现一个bug属于已经找到的i种bug和j个子系统中 

dp[i+1][j]  发现一个bug属于新的一种bug，但属于已经找到的j种子系统 

dp[i][j+1]  发现一个bug属于已经找到的i种bug，但属于新的子系统 

dp[i+1][j+1]发现一个bug属于新的一种bug和新的一个子系统 

以上四种的概率分别为： 

p1 =     i*j / (n*s) 

p2 = (n-i)*j / (n*s) 

p3 = i*(s-j) / (n*s) 

p4 = (n-i)*(s-j) / (n*s) 

又有：期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +... 所以： 

dp[i,j] = p1*dp[i,j] + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] + 1; （又过了一天，所以+1）

整理得： 

 dp[i,j] = ( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 ) 

= ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j ) 

#include <cstdio>  #include <iostream>  using namespace std;double dp[1005][1005];int main (){int n,s,ns;scanf("%d%d",&n,&s);ns=n*s;dp[n][s]=0;for (int i=n;i>=0;i--)for (int j=s;j>=0;j--){if (i==n && j==s)continue;dp[i][j] = ( ns + (n-i)*j*dp[i+1][j] + i*(s-j)*dp[i][j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1][j+1] )/( ns - i*j );}printf("%.4lf\n", dp[0][0]);return 0;}