《算法竞赛-训练指南》第二章-数论常用算法总结

数论是一个神奇的东西，各种结论都很经典，有些懂，有些自己还不是很懂。

接下来就一个一个的介绍吧。

第一、素数，素数本身就是一个很让人惊奇的数，因为它代表的是唯一，自己就有连个因数，一个是1，一个是自己，因为1是每个数都具备的因子（除了0），所以，它也就相当于只有自己。是一个自我感觉很良好的人呀！

最朴素的算法当然是从2-sqrt（2）里面找因子，如果没有，就说明它是个素数。为什么到sqrt（n）？你想，sqrt（n）* sqrt（n）= n，而你因子的个数怎么算？是不是从1-sqrt（n）里面的因子数 * 2？显然可得，因子数是关于sqrt（n）对称的，这边有几个那边就有几个，所以枚举一般就行！

高深一点，有miller-robin，前面写过这个算法，但是好像不经常用，也就没去看过了。但是有一个是比较经常用的，那就是筛法欲求范围素数。这个思想运用广泛，euler函数里面也用到了这个思想。

贴出筛素数的算法，一会加上miller-robin：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>#include <iostream>#include <string>using namespace std;const int MAXN = 1000000 + 11;bool p[MAXN];int index[MAXN];void init(){memset(p, 0, sizeof(p));p[0] = 1;p[1] = 1;for (int i = 4; i < MAXN; i += 2){p[i] = 1;}int cnt = 0;index[cnt++] = 2; for (int i = 3; i < (int)sqrt(MAXN * 1.0); i += 2){if (!p[i]){index[cnt++] = i;int k = i * 2;for (int j = k; j < MAXN; j += i){p[j] = 1;}}}/*for (int i = 0; i < cnt; i++){printf("%d\n", index[i]);}*/}void sieve()//这是另外一种,这种看上去简单,但是和上面的思想是一摸一样的. {int m = (int)sqrt(n + 0.5);for (int i = 2; i < m; i++){if (!p[i]){for (int j = i * i; j < n; j += i){p[j] = 1;}}}}int main(){init();sieve();system("pause");return 0;}

二、欧几里德算法。欧几里德算法的精髓思想大概是辗转相除吧。还是比较好理解的，难点的就是扩展欧几里德算法，求a*x + b*y = gcd(a,b)；这是一个解线性方程组的最佳算法。还有一个很好的应用就是求乘法逆元，这个应用很大，因为有很多时候因为数据量非常大，都会modulo一个素数。而逆元可以把除以一个数变成乘法，这个就比较好了。

贴出这些算法：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <string>using namespace std;typedef long long LL;void extgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y){if (b == 0){x = 1;y = 0;d = a;}else{extgcd(b, a % b, d, y, x);y -= x * (a / b);}}LL inv(LL a, LL n){LL d, x, y;extgcd(a, n, d, x, y);return d == 1 ? (x + n) % n : -1;}int main(){int ans = inv(2, 5);cout << ans << endl;system("pause");return 0;}

三、欧拉函数phi（n）。首先就要弄明白欧拉函数求得的含义：1-n之间和n互素的数的个数。公式是

phi(n) = n * (1 - 1 / p1) (1 - 1 / p2) (1- 1 / p3) (1 - 1 / p4)……

p1,p2,p3都是n素因数分解的素因数。有了这个公式就好办了。

现在贴出素因数分解的代码，其实在euler_phi函数里面就包含了这个思想，就是含有这个因子就把这个因子除尽。

素因数分解：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main(){int N;while (scanf("%d", &N) != EOF){int cnt = 0;cout << "N = ";for (int i = 2; i <= (int)sqrt(N + 0.5); i++){if (N % i == 0){cout << i << "^";while (N % i == 0){N /= i;cnt++;} cout << cnt << " ";}}if (N > 1){cout << N << "^1";}cout << endl;}system("pause");return 0;} 

接下来是euler_phi:

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>#include <iostream>#include <string>/* *首先你得清楚,欧拉函数的公式是什么: *推导出来的最简洁的公式是:phi(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)…… *这就可以轻松的求出来了  *phi(n) 表示的含义是,不超过x且和x互素的整数个数. */using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 100000 + 11;int phi[MAXN];int euler_phi(int n){LL ans = n;for (int i = 2; i <= (int)sqrt(n + 0.5); i++){if (n % i == 0){ans = ans / i * (i - 1);while (n % i == 0){n /= i;}}}if (n > 1){ans = ans / n * (n - 1);}return ans;}void phi_table(int n){memset(phi, 0, sizeof(phi));phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) //因为要将所有的phi都求出来,所以要循环到n,因为有一些大于sqrt(n) { //的素数还没有求出结果; if (!phi[i]){for (int j = i; j < n; j += i){if (!phi[j]){phi[j] = j;}phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);}}}}void print(int n){for (int i = 1; i <= n; i++){printf("phi[%d] = %d\n", i, phi[i]);}} int main(){//cout << "phi(i) = " << euler_phi(3) << endl;phi_table(30);print(30);system("pause");return 0;}

这只是最基本的算法，当然数论里面还有很多种算法，我会后续加上来的。

四、中国剩余定理。解决多个模方程，但是变量还是一个的问题，即x = a[i] (% m[i])。方法是令M为所有的m[i]的乘积，wi = M / mi,则gcd(wi, mi) = 1.使得wi * p + mi * q = 1,可以用extgcd求出来对于wi的p解,令e =  wi * pi,则方程组等价于方程x = e1*a1 + e2*a2 + e3*a3…… 且注意x是唯一解。

代码如下：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <string>/* *中国剩余定理用与解决 x = a[i] (% m[i]); *而m[i]又每每互素，将会求的唯一的最小解。  */ using namespace std;typedef long long LL;const int MOD = 1000000000 + 7;void extgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y){if (b == 0){d = a;x = 1;y = 0;}else{extgcd(b, a % b, d, y, x);y -= x * (a/ b);}}int china(int n, int *a, int *m){int M = 0;int x, y, d;int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++){M += m[i];}for (int i = 0; i < n; i++){int w = M / m[i];extgcd(m[i], w, d, x, y);ans = ((LL)ans + (LL)y * w * a[i]) % MOD;}return (ans + MOD) % MOD;}int main(){system("pause");return 0;}