《算法竞赛-训练指南》-第二章-2.18_UVa 10294

非常的喜欢这道题目！

首先还是老规矩，描述一下这道题目，题目是这个意思：项链和手镯，都是有若干个珠子串成的，不同之处在于项链不能够反转，而手镯可以反转，而给你n个珠子，t中颜色，每种颜色可以是任意多个珠子，问你，可以构造出多少种项链和手镯！

这道题目，我私自认为是一道关于置换方面的经典的例题！开始我都没沉下心来去考虑这个题目，觉得不好玩，但是，当我沉下心仔细去考虑这道题目的时候，我真的觉得数学博大精深！

首先，我们来看看两个很有用的关于置换的定理，第一个就是Burnside（烧边？）引理，描述为：对于置换f，一种着色方案s经过一种置换后不变，则成这种着色方案s是f的不动点。若将f的不动点计为C（f），则可以证明等价类数目为所有C（f）的平均值。

一般用这个引理就可以解决所有的问题了。

而Polya定理是这样给出的：如果置换f可以分解成m（f）个循环的乘积，那么每个循环内的颜色必须相同（必须的，不信则可以自己试验一下），假设有t中颜色，那么C（f）= t^（m（f）），则等价类数目也可求得、

而这个题目就是非常经典的置换的题目，只不过对于手镯来说，你就要注意手镯是可以旋转，也可以翻转的，所以最后是要加上旋转的数目，并且切记奇偶是不同的两种情况。

贴出代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <string>using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 55;LL pow_t[MAXN];void init(int t){pow_t[0] = 1;for (int i = 1; i < MAXN; i++){pow_t[i] = pow_t[i - 1] * t;}}int gcd(int a, int b){return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}int main(){int n, t;while (scanf("%d%d", &n, &t) != EOF){init(t);LL ans1 = 0;for (int i = 0; i < n; i++){ans1 += pow_t[gcd(i, n)];}LL ans2 = 0;if (n % 2 == 0){ans2 = n / 2 * (pow_t[(n + 2) / 2] + pow_t[n / 2]);}else{ans2 = n * pow_t[(n + 1) / 2];}printf("%lld %lld\n", ans1 / n, (ans1 + ans2) / (2 * n));}//system("pause");return 0;}