dp学习笔记

这两天看了几个DP问题，现在就来做一个小小的总结吧。我个人觉得初学dp的时候，应该首先吧这三个经典DP问题给弄清楚。那么下面我就来简单的讲讲这三个简单但确经典的dp吧。

1、求局部最大和：

大致题意是这样的，在一串数字 a[n] 中，找出连续的数字，使他们的和最大。求这个最大的和max。

假设现在已经得出了以a[i]结尾时的最大值sum[i]；那么对于sum[i+1]就有两种状态，第一种是当之前的sum[i]<0时，则sum[i+1]=a[i+1]；第二种是当sum[i]>=0时，则sum[i+1]=sum[i]+a[i+1]；

所以得到的动态转移方程是： 

if(sum[i]<0)sum[i+1]=a[i+1];elsesum[i+1]=sum[i]+a[i+1];

当把所有的sum都求出来之后，只需要一次遍历，求出最大的sum[i]，即max就是所求了。当然也可以直接用一个变量sum，在每步之后进行判断与赋值，同样可以求出max。（在有的题目中会有点稍微的变形，例如杭电上有一题，忘了是哪题了，他不仅要求你求出max，还要把该子串的位置找出来。ps:带上两个标记就行了）

2、求最长公共子序列：

大致题意是在两个字符串中，求出这两个字符串最长的公共子序列的长度；（这个子串不一定是连续的）

设两个字符串为a[n],b[n].以及一个二维数组dp[alen][blen]；alen,blen分别表示a,b的长度，dp[i][j]表示以a[i-1]和b[j-1]结尾时的最长公共子序列的长度；

所以动态转移方程为：

dp[i][j] =0        (i==0||j==0)dp[i][j] =dp[i-1][j-1]+1        (a[i-1]==b[j-1])dp[i][j] =max ( dp[i][j-1] , dp[i-1][j] )        (a[i-1]!=b[j-1])

最后dp[alen][blen]就是所求的结果了。

3、求最长递增子序列（LIS）

大致题意就是在一串数字a[n]中，找出连续最长递增的子序列，求其长度；

通过上面两个题目，你会发现其实这个题目的动态转移方程也挺容易找的。设dp[i]为以a[i-1]为结尾的数字串中最长的递增子序列的长度。那么容易得出

dp[i] =max ( dp[j] )+1       dp[j] ={ dp[j] | j<i && a[j] < a[i] }；

遍历找出最大的dp[i]就是所求；

同理：最长递减子序列的动态转移方程就是：

dp[i] =max ( dp[j] )+1       dp[j] ={ dp[j] | j <i && a[j] > a[i] };

如果想要具体详细的了解一下这三个方程的推导，建议可以看看这个博客http://hi.baidu.com/qingmuxiaoyao/item/9ee3f8cd2dacb37789ad9e59

DP中最重要的往往是状态和状态之间的转移，找到状态转移方程，用递归或者是递推的方式列出方程，题目也就迎仞而解了，而所谓的难题往往是初看不知所措，找不出状态转移方程，或者根本连什么是状态的都看不清。DP在ACM的算法里面可算是重中之重，题目类型千变万化，题目难度差异也很大．是一种很讲究技巧的算法，而且代码实现相对容易，1y率非常高（除有些bt数据外）.总之DP就是一向非常重要，又非常博大精深的算法．