错排公式理解和应用 HDU2048 2049 都是这种应用
来源:互联网 发布:淘宝买东西怎么一起买 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 03:49
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
特殊地,M⑴=0,M⑵=1;
化简后的通项公式:
错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1)^n/n!)(注:0!=1,参见阶乘),此公式算n很大时就很不方便.后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子Dn=[n!/e+0.5] (e,即自然对数的底 ,[x]为取整函数即x向下取整.)
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
特殊地,M⑴=0,M⑵=1;
化简后的通项公式:
错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1)^n/n!)(注:0!=1,参见阶乘),此公式算n很大时就很不方便.后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子Dn=[n!/e+0.5] (e,即自然对数的底 ,[x]为取整函数即x向下取整.)
e=2.71828
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