poj 2888 Magic Bracelet 置换(Burnside引理)+矩阵

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <vector>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;#define LL long longint m,n;const int mod=9973;struct matrix{    int f[11][11];};int euler_phi(int x){    int p=(int)sqrt(x+0.5);    int ans=x,i;    for(i=2;i<=p;i++)        if(x%i==0)        {            ans=ans/i*(i-1);            while(x%i==0)x/=i;        }    if(x>1)ans=ans/x*(x-1);    return ans%mod;// 注意mod，不然会爆int}matrix mul(matrix a,matrix b){    int i,j,k;    matrix c;    memset(c.f,0,sizeof(c.f));    for(k=1;k<=m;k++)    {        for(i=1;i<=m;i++)        {            if(!a.f[i][k])continue;            for(j=1;j<=m;j++)            {                if(!b.f[k][j])continue;                c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[j][k])%mod;            }        }    }    return c;}matrix pow_mod(matrix a,int b){    matrix s;    memset(s.f,0,sizeof(s.f));    for(int i=1;i<=m;i++)        s.f[i][i]=1;    while(b)    {        if(b&1)            s=mul(s,a);        a=mul(a,a);        b=b>>1;    }    return s;}int solve(matrix e,int x){    e=pow_mod(e,x);    int i,ans=0;    for(i=1;i<=m;i++)        ans=(ans+e.f[i][i])%mod;    return ans;}int pows(int a,int b){    int s=1;    while(b)    {        if(b&1)            s=(s*a)%mod;        a=(a*a)%mod;        b=b>>1;    }    return s;}int main(){    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        int i,j,k,a,b,ans=0;        cin>>n>>m>>k;        matrix e;        for(i=1;i<=m;i++)            for(j=1;j<=m;j++)            e.f[i][j]=1;        for(i=0;i<k;i++)        {            cin>>a>>b;            e.f[a][b]=e.f[b][a]=0;        }        for(i=1;i*i<=n;i++)        {            if(n%i==0)            {                if(i*i==n)                    ans=(ans+euler_phi(i)*solve(e,i))%mod;                else                    ans=(ans+euler_phi(i)*solve(e,n/i)+euler_phi(n/i)*solve(e,i))%mod;            }        }        cout<<ans*pows(n%mod,mod-2)%mod<<endl;//pows里注意下n%mod    }    return 0;}/*    这题是用欧拉函数，置换的Burnside引理和矩阵来解决的        欧拉函数euler_phi(x)，求的是不超过x且与x互质的正整数个数    Burnside引理：对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。将f的不动点数记为C(f)，则可以证明等价类数目为所有C(f)的平均值。    矩阵：        f[i][j]=1表示颜色i的后面可以接颜色j，而f[i][j]=0表示不行。得到矩阵A        A^k种∑f[i][i]表示长为k的符合要求的方案数，因为项链成环，第一个和第k+1个相同    sovle(k)表示长度为k的项链的方案数        现在讨论置换：这道题只用考虑旋转不用考虑翻转，所以有顺时针旋转1~n，共n种。    对于旋转i颗珠子，会出现p[i]=gcd(i,n)个循环，每个循环都是n/gcd(i,n);    找不动点，就是置换后各个位置的颜色都相同。所以第j个珠子和第j+p[i]个珠子的颜色相同。所以每p个珠子颜色重复一次，因而只要求出p[i]个珠子长的项链有多少种方案，就是旋转i个珠子的不动点数    不动点总数ans=∑solve(p[i]),由于n可达1e9，所以不能直接求,由于p[i]=gcd(i,n)，所以p[i]只能是n的因子。    枚举因子，对于每个因子q，总共有euler_phi(n/q)个不超过n的数与n的最大公约数是q；因为只有当k<=n/q,且k与n/q互质的情况下，gcd(k*q,n)=q;    最后ans=∑euler_phi(n/q)*slove(q)(q为n的因子)        答案就是(ans/n)%mod<-->ans*n^(mod-2)%mod(mod为素数),这个可以用模乘法的逆来证明，可以直接当定理用了*/

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