poj-2888 Magic Bracelet

题意：

给出n个珠子的项链和m种珠子；

珠子之间有k对关系，这些珠子不能相邻；

无法通过旋转变成相同的项链视为本质不同；

求本质不同的项链个数，答案对9973取模；

n<=10^9，gcd(n,9973)=1，m<=10；

题解：

这显然是一个置换计数的问题；

上burnside引理还是选择poi？

上burnside引理，因为poi定理对颜色的限制要很宽泛才行！

先考虑一种置换姿势，旋转x个珠子；

那么就将项链分成了gcd(x,n)大小的段，而要求的不变置换数要求这些段完全相同；

问题就是求这些珠子在gcd(x,n)+1长度的链中可以有多少种摆法；

这里可以递推求得，矩阵优化；

具体矩阵与珠子关系有关，不细说了；

这时我们如果枚举1-n的姿势肯定是超时的，那么枚举n的约数；

对于n的每一个约数p，考虑有几个数与n的gcd为p；

这里的数是不会大于n的，所以这里的数/p一定小于n/p；

并且gcd为p所以一定与n/p互质，然后就是欧拉函数了；

具体实现不太复杂，但是细节挺多？

反正我没加反向的关系边WA了好多好多发(笑)；

Orz wzq神犇；

时间复杂度O(√n*m^3logn)；

代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#define N 10#define mod 9973using namespace std;struct matrix{int a[N][N];int val(int m){int ret=0;for(int i=0;i<m;i++)ret+=a[i][i];return ret%mod;}friend matrix operator *(matrix x,matrix y){matrix ret;memset(&ret,0,sizeof(matrix));for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<N;ret.a[i][j]%=mod,j++)for(int k=0;k<N;k++)ret.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];return ret;}}temp,T,In;matrix pow(matrix x,int y){matrix ret=In;while(y){if(y&1)ret=ret*x;x=x*x;y>>=1;}return ret;}int pow(int x,int y){int ret=1;while(y){if(y&1)ret=ret*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return ret;}int phi(int x){int ret=x;for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ret/=i,ret*=i-1;while(x%i==0)x/=i;}}if(x!=1)ret/=x,ret*=x-1;return ret;}int main(){int c,Tc,n,m,i,j,k,x,y,ans;scanf("%d",&Tc);for(i=0;i<N;i++)In.a[i][i]=1;for(c=1;c<=Tc;c++){scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);memset(&T,0,sizeof(T));for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<m;j++)T.a[i][j]=1;for(i=1;i<=k;i++){scanf("%d%d",&x,&y);x--,y--;T.a[x][y]=T.a[y][x]=0;}for(i=1,ans=0;i*i<=n;i++){if(n%i==0){temp=pow(T,n/i);ans+=phi(i)%mod*temp.val(m)%mod;ans%=mod;if(i*i==n)continue;temp=pow(T,i);ans+=phi(n/i)%mod*temp.val(m)%mod;ans%=mod;}}printf("%d\n",ans*pow(n%mod,mod-2)%mod);}return 0;}