實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索解法

来源：互联网发布：查找算法时间复杂度编辑：程序博客网时间：2024/04/29 09:38

實對稱矩陣是當今應用最廣的一種特殊矩陣，一方面因為實對稱矩陣「天生」就出現在許多場合 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)，另一方面因為它具備一些良好的性質，包括特徵值為實數，而且不論特徵值是否相重，存在一組完整的標準正交 (orthonormal) 特徵向量集，也就是說，實對稱矩陣可正交對角化 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。本文介紹求解實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索法。這裡所指的探索法包含幾個常用的技巧：(1) 尋找矩陣的特別模式；(2) 觀察出特徵值和特徵向量 (見“肉眼判讀特徵向量”)；(3) 選擇有效的變數；(4) 利用對稱性 (泛指一般對稱性)；(5) 利用特徵值性質及特徵向量的正交性。為甚麼要特別指定實對稱矩陣？因為實對稱矩陣有完全正交的特徵向量集，這個限制可大大增強探索法的威力。下面選取的例子都具有簡單的形式，甚或包含許多零元，目的在彰顯解決實對稱矩陣特徵分析問題的重要技巧，讀者可以從中歸納出應付其他情況的有效策略。不過，探索法所能解決的問題種類有限，當矩陣尺寸增大或不具備特殊模式時，我們仍須仰賴數值方法。此外，請讀者不要將本文介紹的探索法當作唯一的好方法。在討論之前，我引用拉森 (Loren C. Larson) 的一段話[1]：

一個問題，通常可有幾種解法，並且常有一些明顯不同的探索法。所以不要以「先入為主」之見處理每個問題，更不要帶有某個問題只能用某一種特殊的探索法來求解的框框。提出一個問題時，關鍵是把它解出來。正是用一切方法去解題而累積了經驗，才使人們得到可能解題成功的高度洞察力。

例一

$A=\left[\!\!\begin{array}{cccc} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&0&1&0\\ 0&1&0&1 \end{array}\!\!\right]$

矩陣 $A$ 具有棋盤型態。因為 $A$ 的第一行和第三行相同，第二行和第四行相同，即知 $A$ 不可逆，故有特徵值 $0$ 。根據 $A$ 的行向量模式，立得對應特徵值 $0$ 的二個線性獨立特徵向量 $\mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]$ 和 $\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ ，可知特徵值 $0$ 的代數重數等於 2 (至目前為止)，令 $\lambda_1=\lambda_2=0$ 。此外， $A$ 的每一列都包含二個 $1$ 和二個 $0$ ，每一列的總和皆等於 $2$ ，可知 $A$ 有特徵值 $\lambda_3=2$ ，對應特徵向量 $\mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 。一旦獲得了三個特徵值，最後一個未知特徵值即可由矩陣跡數解出， $0+0+2+\lambda_4=\mathrm{trace}A=4$ ，故 $\lambda_4=2$ ，對應的特徵向量 $\mathbf{x}_4$ 正交於 $\mathbf{x}_i$ ， $i=1,2,3$ ，觀察可得 $\mathbf{x}_4=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 。下面這個同型態的 $8\times 8$ 階矩陣提供給讀者練習，將 $1$ 和 $0$ 互換會改變特徵值和特徵向量嗎？

$\left[\!\!\begin{array}{cccccccc} 1&0&1&0&1&0&1&0\\ 0&1&0&1&0&1&0&1\\ 1&0&1&0&1&0&1&0\\ 0&1&0&1&0&1&0&1\\ 1&0&1&0&1&0&1&0\\ 0&1&0&1&0&1&0&1\\ 1&0&1&0&1&0&1&0\\ 0&1&0&1&0&1&0&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

例二

$A=\left[\!\!\begin{array}{cccc} 1&1&1&0\\ 1&1&0&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&1&1 \end{array}\!\!\right]$

我們發現 $A$ 的每一列都包含三個 $1$ 和一個 $0$ ，可知 $A$ 有特徵值 $\lambda_1=3$ ，對應特徵向量 $\mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 。再將注意力集中在主對角元，從主對角元減去甚麼數字 $\lambda$ 可使 $A-\lambda I$ 不可逆？利用對稱性，不難得知 $A$ 有特徵值 $1$ ，這時

$A-I=\left[\!\!\begin{array}{cccc} 0&1&1&0\\ 1&0&0&1\\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0 \end{array}\!\!\right]$ 。

因為 $A-I$ 的第一行和第四行相同，第二行和第三行相同，這說明 $A$ 有特徵向量 $\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 和 $\mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]$ ，對應相重特徵值 $\lambda_2=\lambda_3=1$ 。最後一個特徵值可由跡數解出， $3+1+1+\lambda_4=\mathrm{trace}A=4$ ，故得 $\lambda_4=-1$ ，對應 $\mathbf{x}_4=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 。下面二個型態類似的 $8\times 8$ 階矩陣留給讀者練習：

$\left[\!\!\begin{array}{cccccccc} 1&1&1&1&1&1&1&0\\ 1&1&1&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&0&1&1&1\\ 1&1&1&0&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1&1&1\\ 0&1&1&1&1&1&1&1 \end{array}\!\!\right],~~\left[\!\!\begin{array}{cccccccc} 0&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&0&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&0&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&0 \end{array}\!\!\right]$ 。

例三

$A=\left[\!\!\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&0 \end{array}\!\!\right]$

觀察發現 $A$ 的第一行和第二行相同，第三行和第四行相同，因此不可逆， $A$ 有零特徵值，故知對應相重特徵值 $\lambda_1=\lambda_2=0$ 的特徵向量是 $\mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{array}\!\!\right]$ ， $\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 。接下來我們在 $\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}$ 的正交補集尋找另外二個特徵向量，子空間 $\mathcal{X}^{\perp}$ 內的向量可表示為 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} a\\ a\\ b\\ b \end{bmatrix}$ ，我們要求 $a,b$ 不得同時為零。若 $a\neq 0$ ，在不失一般性的原則下，可設 $a=1$ 。考慮 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，代入數值計算，

$A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&0 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ b\\ b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+2b\\ 2+2b\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ b\\ b \end{bmatrix}$ 。

上式給出兩個方程式： $2+2b=\lambda$ ， $2=\lambda b$ ，合併為 $\lambda^2-2\lambda-4=0$ ，由此解出 $\lambda_3=1+\sqrt{5}, \lambda_4=1-\sqrt{5}$ ，將特徵值代回 $b=\lambda/2-1$ ，可得對應的特徵向量 $\mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 1\\ (-1+\sqrt{5})/2\\ (-1+\sqrt{5})/2 \end{array}\!\!\right]$ ， $\mathbf{x}_4=\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -(1+\sqrt{5})/2\\ -(1+\sqrt{5})/2 \end{array}\!\!\right]$ 。下面這個同型態的 $8\times 8$ 階矩陣留給讀者練習，如果將 $1$ 和 $0$ 互換會改變特徵值和特徵向量嗎？

$\left[\!\!\begin{array}{cccccccc} 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]$ 。

例四

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 1&-1&0&0\\ -1&2&-1&0\\ 0&-1&2&-1\\ 0&0&-1&1 \end{array}\!\!\right]$

矩陣 $A$ 的每一列的所有元總和都等於 $0$ ，立知 $\lambda_1=0$ ，對應特徵向量 $\mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 。仔細檢視主對角元，甚麼數字 $\lambda$ 可使 $A-\lambda I$ 不可逆？利用對稱性，可知 $\lambda_2=2$ ，因為

$A-2I=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} -1&-1&0&0\\ -1&0&-1&0\\ 0&-1&0&-1\\ 0&0&-1&-1 \end{array}\!\!\right]$

的第一行和第四行相加等於第二行和第三行相加，也就得到 $\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 。如同例三做法，接下來我們在 $\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}$ 的正交補集尋找另外二個特徵向量，子空間 $\mathcal{X}^{\perp}$ 內的向量可表示為 $\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r} a\\ b\\ -b\\ -a \end{array}\!\!\right]$ 。設 $a=1$ ，計算 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，可得

$A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 1&-1&0&0\\ -1&2&-1&0\\ 0&-1&2&-1\\ 0&0&-1&1 \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ b\\ -b\\ -1 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} 1-b\\ 3b-1\\ 1-3b\\ b-1 \end{bmatrix}=\lambda\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ b\\ -b\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 。

上式給出二個方程式： $1-b=\lambda$ ， $3b-1=\lambda b$ ，合併為 $\lambda^2-4\lambda+2=0$ ，解出 $\lambda_3=2+\sqrt{2}$ ， $\lambda_4=2-\sqrt{2}$ ，將特徵值代回 $b=1-\lambda$ ，可得 $\mathbf{x}_3=\begin{bmatrix} 1\\ -1-\sqrt{2}\\ 1+\sqrt{2}\\ -1 \end{bmatrix}$ ， $\mathbf{x}_4=\begin{bmatrix} 1\\ -1+\sqrt{2}\\ 1-\sqrt{2}\\ -1 \end{bmatrix}$ 。

欲應用前面介紹的探索原則和技巧解出下列 $8\times 8$ 階矩陣的特徵值和特徵向量可能會遭遇一些阻礙：

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrrrrrrr} 1&-1&0&0&0&0&0&0\\ -1&2&-1&0&0&0&0&0\\ 0&-1&2&-1&0&0&0&0\\ 0&0&-1&2&-1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&2&-1&0&0\\ 0&0&0&0&-1&2&-1&0\\ 0&0&0&0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&0&0&0&-1&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

畢竟，在探索問題的最初階段，我們必須保持靈活。如果既有的辦法不能奏效，便應尋求其他解題思路。一個可能的做法是嘗試解決尺寸較小的問題，譬如， $5\times 5$ 階或 $6\times 6$ 階同類型矩陣，從中或許可以發掘新的探索技術。照前例，這個問題就留給讀者自行完成。