算法导论 4.2-4

1 题目

利用递归树来找出递归式T(n)=T(n-a)+T(a)+cn的渐近紧确解，其中a>=1且c>0是常数。

2 分析与解答

画出递归树：

从递归树可以得到：

1. 递归树的高度为⌊ n/a ⌋ ;
2. 深度为i的结点的代价总和为T(a)+c(n-ia)

忽略上下取整，可得T(n)=∑_i=0^n/a(T(a)+c(n-ia))=(n/a+1)T(a)+(cn²+acn)/2a=Θ (n²);

用替换法证明，首先证明T(n)=O(n²)：

若渐近上界存在，可得T(n) <= c₀ (n-a)² + T(a) + cn =c₀ n² - (2ac₀ n - ac₀² - T(a) - cn)；

显然当c₀ >= c/a时，2ac₀ n - ac₀ ² - T(a) - cn >= cn - ac₀² - T(a);

此时，只需n >= (ac₀ ² + T(a))/c，就可令(2ac₀ n - ac₀² - T(a) - cn) >=0;

那么，当满足上述条件时，显然T(n) <= c₀ n^2，即T(n)=O(n²)；

我们取c₀ = c/a，则当n >= c/a + T(a)/c时，存在c₀ =c/a，使T(n)<=c₀ n² 。

再证明T(n)=Ω(n²):

根据渐近下界定义，可得T(n) >= c₀ (n-a)² + T(a) + cn =c₀ n² - 2ac₀ n + ac₀² + T(a) + cn;

当c₀ = c/2a时，上式转换为T(n) >= c₀ n² + ac₀² + cn >= c₀ n²;

即存在c₀ = c/2a，使得当n >= 0时，T(n)>=c₀ n² ，即T(n)=Ω(n²)；

综上可得T(n)=Θ(n²)。证毕