算法导论 4.2-1

来源：互联网发布：同志漫画软件编辑：程序博客网时间：2024/05/01 03:58

1 题目

利用递归树来猜测递归式T(n)=3T(⌊ n/2 ⌋)+n的一个好的渐近上界，并利用代换法来证明你的猜测。

2 分析与解答

证明：忽略上下界，假设当n=1时，T(1)=1。

建立递归式T(n)=3T(n/2)+n的递归树:

根据递归树可以得到如下结论：

递归树的深度为lgn;
第i层的结点数为3ⁱ;
除最后一层，第i层的代价(3/2)ⁱn;
最后一层的代价为(3/2)^logn

根据以上结论可得，整棵递归树的总体代价为：

$T(n)=\sum_{i=0}^{\log_{2}n-1}{(3/2)^{i}n}+(3/2)^{\log_{2}n}$

根据等比数列求和公式和换底公式，得： $T(n)=(\frac{(\frac{3}{2})^{\lg n}-1}{\frac{3}{2}-1})n+(\frac{3}{2})^{\lgn}=\Theta(n\cdot n^{\lg {\frac{3}{2}}})=\Theta(n^{\lg 3})$

用替换法证明T(n)=3T(⌊ n/2 ⌋)+n的时间上界为n^{lg 3}。

假设T(n)=O(n^{lg 3})，那么就存在c和n_0，当n >= n_0时，有T(n) <= cn^{lg 3}；

所以有T(n) <= 3c(n/2)^{lg 3} + n = 3cn^{lg 3}/3 + n = cn^{lg 3} + n；

因为，lg 3 > 1，所以当n >= 1时，n^{lg 3} >= n；

所以，当n >= n_0时，有T(n) <= 2cn^{lg 3}，即T(n) = O(n^{lg 3})