关灯问题

灯分析

原题

有100盏灯，依次编号1-100，初始都是关着的。第1次遍历，打开全部的灯；第2次遍历，关掉第2盏、第4盏等被2整除的灯；第3次打开被3整除的灯；第i次，对被i整除的灯做如下操作

• 如果灯开着，就关掉

• 如果灯关着，就打开

如此交替进行，直到100次遍历完毕，请问，还有多少盏灯亮着。

分析

这个题目比较好玩儿，路子走对了，很简单。想不对，方法就不是那么美。

例如，方向不对的话，就按照题目的意思，一遍又一遍的遍历，直到结束，时间复杂度是O(n^2)的。也能够解决问题，但是复杂了。

那么怎么办呢？上面的遍历的做法，是横向的思路，现在我们纵向思考。一盏灯，会在那几次被操作。例如编号为100的灯：

• 第1次能够操作，打开

• 第2次能够操作，关闭

• 第4次能够操作，打开

• 第5次能够操作，关闭

• 第10次能够操作，打开

• 第20次能偶操作，关闭

• 第25次能够操作，打开

• 第50次能够操作，关闭

• 第100次能偶操作，打开

最终编号为100的灯是打开的。再来看编号为70这盏灯：

• 第1次能够操作，打开

• 第2次能够操作，关闭

• 第35次能够操作，打开

• 第70次能够操作，关闭

最终编号为70的灯关闭着。

通过上面两个例子，我们会发现，1,2,4,5等都是能够整除100；1,2,35,70都能够整除70。 所以，编号为n的灯，有多少个因数，就有会被操作多少次。很显然，如果是偶数次，则灯一定是关着的。 那什么情况下，操作会是奇数次呢？一个数，每次分解，都是两个数相乘，只有当这两个数相同的时候，才会是偶数次。 所以，最终会亮着的灯，都能够开平方，得到一个正整数：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

【分析完毕】