三角形数

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一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：

一开始的18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的数列A000217）

三角形数

目录

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• 1 性质
• 2 特殊的三角形数
• 3 和其他数的关系
• 4 外部链接

性质[编辑]

• 第n个三角形数的公式是。
• 第n个三角形数是开始的n个自然数的和。
• 所有大于3的三角形数都不是质数。
• 开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
• 所有三角形数的倒数之和是2。
• 任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。
• 一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用来表示。
• 一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：

如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式

特殊的三角形数[编辑]

• 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
• 第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。

和其他数的关系[编辑]

• 是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数,在9000000以下的数目是正确的。
• 四面体数是三角形数在立体的推广。
• 两个相继的三角形数之和是平方数。
• 三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。
• 三角形数属于一种多边形数。
• 所有偶完美数都是三角形数。
• 任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律，他在1796年7月10日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ