算法导论 4.4-2

1 题目

证明：若f(n)=Θ(n^{log_b a} lg^k n)，其中k>=0，则主定理递归式的解为T(n)=Θ(n^{log_b a} lg^k+1 n)。为简单起见，可以只对b的整数幂分析。

2 分析与解答

证明：对于n为b的整数幂，主定理的递归式的解为：

T(n)=Θ(n^{log_b a}) + ∑_j=0^{log_b n -1} a^j f(n/b^j )

将f(n)=Θ(n^{log_b a} lg^k n)带入上式中，得：

T(n)=Θ(n^{log_b a}) + ∑_j=0 ^{log_b n -1} a^j Θ((n/b^j)^{log_b a} lg^k (n/b^j ))

令g(n)=∑_j=0 ^{log_b n -1} a^j Θ((n/b^j )^{log_b a} lg^k (n/b^j))=Θ(n^{log_b a} * ∑_j=0^{log_b n - 1} lg^k (n/b^j ))

其中

∑_j=0 ^{log_b n - 1} lg^k (n/b^j )

=∑_j=0^{log_b n - 1} (lgn - jlgb)^k

=∑_j=0^{log_b n - 1} (lgn/lgb - j)^k lg^k b

=∑_j=0^{log_b n - 1} (log_b n - j)^k lg^k b

=lg^k b(1^k + 2^k + … + log_b ^k n)

=lg^k b∑_j=1^{log_b n} j^k

j^k 为单调递增函数，根据书中的公式A. 11

∫₀ ^{log_b n} x^k dx <= ∑_j=1^{log_b n} j^k <= ∫₁^{log_b n+1} x^k dx

1/(k+1)* log^k+1 _b n = Θ(log^k+1 _b n ) <= ∑_j=1^{log_b n} j^k <= 1/(k+1)*(log_b n + 1)^k+1 - 1/(k+1) = Θ(log^k+1_b n )

所以∑_j=0 ^{log_b n - 1} lg^k (n/b^j ) = Θ(log^k+1_b n) =Θ(lg^k+1 n)

所以，g(n)=Θ(n^{log_b a} lg^k+1 n)，

所以T(n)=Θ(n^{log_b a}) + Θ(n^{log_b a}lg^k+1 n)=Θ(n^{log_b a}lg^k+1 n)