算法导论 5.1-2

一：描述random(a, b)过程的一种实现，它只调用random(0,1)。作为a和b的函数，你的程序期望运行时间是多少？

Random（a，b）需满足的条件：

1）a、b之间的元素是等概率出现的

2）其概率=1/(b-a+1)

以下解题思路仅实现了---等概率出现，至于得到的概率<=1/(b-a+1)

解析：1·Random(0,1)可以等概率产生0、1，如果将(b-a+1)写成二进制形式，则可以用Random(0,1)产生的值（0或1）串起来表示(b-a+1)，执行Random(0,1) p次后，得到的结果将是Random(0, 2^p)，当2^p >= (b-a+1)时，实际上0~(b-a+1)【准确的说是0~2^p】之间的元素已经可以等概率出现了

2·分治法：

2.1分解,将a-b区间分成2部分,通过random(0,1)控制,则进入前半部和后半部的概率是一样的;

2.2.递归的处理前后两个部分,若问题足够小,即落到某个具体位置上时,则直接返回;

注意：当元素个数(b-a+1)不是2的幂次时，直接进行分治得不到等概率

元素；此时需要添加(b+1)、(b+2)、(b+3)···以使得元素个数等于2的幂次，然后再对a~(b+i)进行分治

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <time.h>using namespace std;int random(int a , int b){    int p,m=1;               //m用来保存2^p    for(p=0 ; m<b-a+1; p++) //p是二进制位数    {        m *= 2;              //再用m保存十进制的值    }    m = rand()%2;    for(int i=0 ; i<p; i++)    {        m = m*2+rand()%2;//将生成的01串表示成十进制，注意每次都要左移，所以m*2    }    if(m > b-a)    {        return random(a , b);    }    else    {        return m+a;    }}int main(){    int a,b;    cin >> a >>b;//输入3和7    srand(time (0) );    int m;    int three , four , five ,        six , seven;//这几个变量用来统计3,4,5,6,7出现次数    three = four = five =        six = seven=0;    for(int i=0 ; i<1000 ; i++)    {        m = random(a , b);        cout << m << endl;        switch(m)        {            case 3:            three++;break;            case 4:            four++;break;            case 5:            five++;break;            case 6:            six++;break;            case 7:            seven++;            default:break;        }    }    cout << three << ' ' << four    << ' ' << five << ' ' << six << ' ' <<seven;    return 0;}

二：已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。
（参考答案：这题主要考的是对概率的理解。程序关键是要算出rand10，1到10，十个数字出现的考虑都为10%.根据排列组合，连续算两次rand7出现的组合数是7*7=49，这49种组合每一种出现考虑是相同的。怎么从49平均概率的转换为1到10呢？方法是：
1.rand7执行两次，出来的数为a1.a2.

2.如果a1*7+a2<40,b=(a1*7+a2)/10+1,如果a1*7*a2>=40,重复第一步）。参考代码如下所示

nt rand7()  {    return rand()%7+1;  }    int rand10()  {    int a71,a72,a10;    do     {      a71= rand7()-1;      a72 = rand7();      a10 = a71 *7 + a72;    } while (a10>= 40);    return (a71*7+a72)%10+1;