倒水问题（算法挑战）

我想我们都做过这么一道题：
有两个容器，容积分别为A升和B升，有无限多的水，现在需要C升水。
我们还有一个足够大的水缸，足够容纳C升水。起初它是空的，我们只能往水缸里倒入水，而不能倒出。
可以进行的操作是：
把一个容器灌满；
把一个容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）；
用一个容器的水倒入另外一个容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器满。
问是否能够通过有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。
输入：三个整数A, B, C，其中 0 < A , B, C <= 1000000000
输出：true或false，表示能否达到要求。

例如：
5升水、4升水的杯子、倒出3升水。做法有很多。其中一个 4-（5-4）;解释：将4升杯装满导入空的5升杯中。再将4升杯装满倒置入5升杯中、使之装满！此时4升杯中剩余3升！

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问题补充：

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判断出可以得到C升水之后、要求列出操作次数最少的一组方法？

thanks丶墨

编辑于2013-09-03

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7个答案

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倒水的过程有以下几种：设容器中剩余水量为x，A>B，则将水倒入B直至B满：x=>x-B；从B倒入满满一容器的水：x=>x+B；将A倒满水然后倒入B直至B满：x=>A-(B-x)即x=>x+A-B；将B倒满水然后倒入A直至A满：x=>B-(A-x)即x=>x-(A-B)。因此能倒出的水的容量一定能写成X = mA + nB，因此X应当是gcd(A,B)的倍数。
反过来，如果X是gcd(A,B)的倍数，则一定存在m,n使得mA + n(A-B) = X，当X<lcd(A,B)时m和n是唯一的。根据m和n的值可以推算出倒水的方案。

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评论 (3) • 链接 • 2013-09-05

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  谢灵哥，意思大致明白！代码还是写不出来！糗了！ – thanks丶墨2013-09-05
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  @thanks丶墨 计算出对应的m和n的过程是一个经典的辗转相除算法，通常叫做扩展的欧几里得辗转相除，可以查一下数论的相关内容。倒水的方案的要点在于倒的过程必须保证0<=x<=A，因此需要把C拆成m*A+n*B+x，x符合0<=x<=A，是最后一次要调整的水量。要求出最少步骤还是有一些难度的。 – 灵剑20122013-09-05
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  @灵剑2012 嗯。欧几里得辗转相除我了解。我也觉得求出最少步骤很困难！ – thanks丶墨2013-09-05

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对于上面的题目研究结果如下：
得出能否实现似乎很简单、但是如果可以实现，那么去得到最快的实现方法却很难！

  

public static boolean can( int a , int b , int c ) { 
    int temp = gcd( a , b ); 
    //规则：如果可以得到c ，那么必然满足 c为 temp的倍数 
    return c%temp == 0; 
} 
// 得到两个数的最大公约数 
public static int gcd( int a , int b ) { 
    return ( b > 0 ) ? gcd( b , a % b ) : a; 
}

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评论 (0) • 链接 • 2013-09-02

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• 假行僧

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广度优先算法~
用一个递归, 在每一层, 搜索所有的可能性, 在一个链表中记录.
搜索完这层之后, 链表指针向后移一位, 继续递归.

返回条件:
1.当前状态是目标状态.
2.搜索完所有的状态, 已经没有其他的可能了.(每次增加链表的时候, 都做一次"当前状态是否重复"的判断, 用 字符串 或者 数组 都可以.)

最优解:
链表反着打印就可以了~

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评论 (1) • 链接 • 2013-09-04

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  so 我还得先研究下这个算法机制！ 谢过！ – thanks丶墨2013-09-04

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• lxgwm2008

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中国剩余定理的问题！可以了解一下数论！
条件是只要两个容器的容积互质，那么肯定有解，且只有一个解！

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评论 (0) • 链接 • 2013-09-04

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• chen_an_2005

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A，B的最大公约数能够整除C，就一定有解。反之无解。
实际程序执行没必要求最大公约数，只要A、B之差能整除C就有解了。

  

bool can_fill(int a, int b, int c) 
{ 
  if (a==0 || b==0) return false; 
  if (c%a==0 || c%b==0) return true; 
  if (a>b)  
    return can_fill(a-b, b, c); 
  else  
    return can_fill(a, b-a, c); 
}

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评论 (0) • 链接 • 2013-09-04

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设要求为m升:
1.求最小m(m_min):
n(A+B)>m>=(n-1)(A+B)
m_min=n(A+B)-m==0?true:false
2.求此时最大m(m_max):
m_max=|n(A-B)|==0?true:
xA+yB=m_max
若存在整数（x,y）---〉true
else: false

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评论 (0) • 链接 • 2013-09-05

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其实可以扩展到n个桶要倒出w升水的问题
同样要实现这目标，w必须是这n个桶容量最大公约数的倍数。
设n个桶的容量为a1,a2,...,an，最大公约数为c，
即（a1,a2,...,an）= c
=>u1a1+u2a2+...+unan=c， =>w/c(u1a1+u2a2+...+unan)=w //同时乘以w/c
所以要实现这一目标w/c必须是整数，即w是c的倍数。
注意Ui可能为负数，可能不唯一，也就代表倒水的顺序不唯一。

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评论 (0) • 链接 • 2013-09-10