NOIP2007第四题 树网的核 分析

树网的核

（core.pas/c/cpp）

【问题描述】

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

D(v, P)=min{d(v, u),u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V, E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

 

【输入】

输入文件core.in包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

所给的数据都是争取的，不必检验。

【输出】

输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

【输入输出样例】

【输入输出样例1】

core.in

Core.out

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

5

【输入输出样例2】

core.in

core.out

8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

5

【限制】

40%的数据满足：5<=n<=15

70%的数据满足：5<=n<=80

100%的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

 

→思路1：最短路改编

【分析】：

       用floyd求两点间最短路，然后枚举小于等于S的边，求其他点到该边的距离最大值<(map[i][k]+map[j][k]-map[i][j])/2即偏心距，其中i，j为选中的点，k为枚举的点>，最后取最小值

【代码】：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<algorithm>#include<iostream>#include<vector>using namespace std;#define IMAX 21474836#define MAX 301int N,S,ans1=IMAX,map[MAX][MAX];void pre(){      for(int i=1;i<=N;i++)            for(int j=i+1;j<=N;j++)                  map[i][j]=map[j][i]=IMAX;}void floyd(){      for(int k=1;k<=N;k++)            for(int i=1;i<=N;i++)                  if(i!=k)                       for(int j=i+1;j<=N;j++)                             if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])                                   map[i][j]=map[j][i]=map[i][k]+map[k][j];}void work(){      for(int i=1;i<=N;i++)            for(int j=i;j<=N;j++)                  if(map[i][j]<=S)                  {                        int now=0;                        for(int k=1;k<=N;k++)                              if(i!=k && j!=k)                                    now=now<map[i][k]+map[j][k]-map[i][j] ? map[i][k]+map[j][k]-map[i][j] : now;                        ans1=ans1<now ? ans1 : now;                                          }}int main(){      freopen("core.in","r",stdin);      freopen("core.out","w",stdout);      memset(map,0,sizeof(map));      scanf("%d%d",&N,&S);      pre();      for(int i=1;i<N;i++)      {            int A,B,C;scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);map[A][B]=map[B][A]=C;      }      floyd();      work();      printf("%d\n",ans1/2);      //system("pause");      return 0;}

 

→思路二：直接模拟

【分析】：

          先求出一条树的直径，并记录上面的点，然后模拟的找最短偏心距

【代码】：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<queue>#define MAXN 100000000using namespace std;queue<int > q;int jdf[301][301],ff[301][301],f[301][301],fa[301],jl[301],pxj[301],jd[301],maxi,maxx,n,ss;bool s[301],zs[301];void js(){memset(s,false,sizeof(s));memset(jl,0,sizeof(jl));q.push(maxi);s[maxi]=true;maxx=0;while(!q.empty()){int k=q.front();q.pop();if(jl[k]>maxx){maxx=jl[k];maxi=k;}for(int i=1;i<=ff[k][0];i++){int kk=ff[k][i];if(!s[kk]){s[kk]=true;fa[kk]=k;jl[kk]=jl[k]+f[k][kk];q.push(kk);}}}return;}int fff(int v,int u){memset(fa,0,sizeof(fa));maxi=v;js();int minn=0;for(int i=1;i<=n;i++){int k=i,ans=0;while(true){if(zs[k])break;ans+=f[k][fa[k]];k=fa[k];}minn=max(minn,ans);}return minn;}int main(){freopen("core.in","r",stdin);freopen("core.out","w",stdout);cin>>n>>ss;int a,b,c;memset(f,0,sizeof(f));for(int i=1;i<n;i++){cin>>a>>b>>c;f[a][b]=c;f[b][a]=c;ff[a][++ff[a][0]]=b;ff[b][++ff[b][0]]=a;}maxi=1;js();memset(fa,0,sizeof(fa));js();int k=maxi,ok=0;while(k){jd[++ok]=k;k=fa[k];}for(int i=1;i<=ok;i++)for(int j=i+1;j<=ok;j++)jdf[i][j]=jdf[i][j-1]+f[jd[j-1]][jd[j]];int minx=MAXN;for(int i=1;i<=ok;i++){memset(zs,false,sizeof(zs));int j=i;for(;j<=ok&&jdf[i][j]<=ss;j++)zs[jd[j]]=true;j--;minx=min(minx,fff(jd[i],jd[j]));}cout<<minx<<endl;return 0;}

 

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