二叉树

1.二叉树的定义

  二叉树是n个结点的有限集合，改集合或者为空集，或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2.二叉树的特点

每个结点最多有两棵子树，所以不存在度大于2的结点。注意是最多有！

左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

即使书中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

3.特殊二叉树

3.1.斜树

顾名思义，斜树一定要是斜的。所有的结点都只有左子树的二叉树是左斜树。所有...右斜树。斜树很明显特点就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。这其实就是线性表结构。

3.2.满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。下图既是一棵满二叉树：

                                                                             

因此，二叉树的特点有：（1）叶子结点只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达到平衡。

                                           （2）非叶子结点的度一定是2.

                                            （3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3.完全二叉树

   对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。如图：

                                                                        

如何理解完全二叉树？

很多开始学习数据结构的同学有时都会搞混满二叉树和完全二叉树。首先，满二叉树一定是一棵完全二叉树，而反过来不一定成立。

其次，完全二叉树的所有结点与同样深度的满二叉树，它们按层序编号相同的结点，是一一对应的。这里需要理解什么是按层序编号，如下图中的树1，因为5结点没有左子树，却有右子树，那就是的按层序编号的第10个编号空挡了。同样道理，树2，由于3结点没有字数，所以使得6,7编号的位置空挡。树3又是因为5编号下没有子树造成第11和第10位置空挡。只有上图，因为编号是连续的，所以它是完全二叉树。

从上面可得出一些完全二叉树的特点：

（1）叶子结点只能出现在最下两层。

（2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置；

（3）倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置出现；

（4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右孩子的情况；

（5）同样结点书的二叉树，完全二叉树的深度最小。

所以判断完全二叉树的办法就是看着树的示意图，心中默默给每个结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树，否则就是。

4.二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^（i-1）个结点（i>=1）.

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）。

性质3：对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度2的结点数为n2,则n0=n2+1.

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2^n]+1(其中[x]表示不大于x的最大整数)。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序变换（从第1层到第[log2^n]+1层，每层从左到又），对任一结点i(1<=i<=n)有：

          1.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2].

         2.如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i.

         3.如果2i+1>n，则结点i无有孩子；否则其右孩子是结点2i+1.

5.二叉树的存储结构

1）二叉树的顺序存储结构

    可以使用顺序存储结构实现二叉树。也就是用一维数组存储二叉树中的结点，结点的存储位置能体现结点之间的逻辑关系。

先看看完全二叉树的顺序存储：

                                                                  

存入数组为：

对于一般二叉树，把不存在的结点设置为“^”而已。

2)二叉链表

                                              | lchild | data | rchild |

其中data为数据域，lchild和rchild为指针域，分别存放指向左孩子还右孩子的指针

下面是二叉链表结点结构定义代码：

typedef struct BiTNode{   TElemType data;   struct BiTNode *lchild,*rchild;}BiTNode,*BiTree;

6.遍历二叉树

  主要讨论这四种遍历方法：

1.前序遍历

规则：若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

2.中序遍历

规则：。。。，否则从根节点（但不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树。

后序遍历

规则：。。。，从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点。

层序遍历：。。。，从树的第一层，开始从上而下逐层遍历。同一层中，从左到右。
二叉树遍历两种重要的性质：

1.已知前序遍历和中序遍历可以唯一确定一棵二叉树；

2.已知后序遍历和中序遍历可以。。。。

但是已知前序遍历和后序遍历不能确定一棵二叉树。

（本文是对《大话数据结构》的二叉树讲解的简单总结，完全参考该书，更多详细的介绍，读者可以阅读该书）