十进制数转换为二进制数的除2取余法和乘2取整法的依据

来源：互联网发布：js取radio选中的值编辑：程序博客网时间：2024/05/21 14:59

除2取余法的依据

假定十进制整数为 $(S)_{10}$ ，等值的二进制数为 $\bg_white (k_{n}k_{n-1}...k_{0})_{2}$ ，则依公式 $D=\sum k_{i}2^{i}$ 可知

$(S)_{10} = k_{n}2^{n}+k_{n-1}2^{n-1}+...k_{1}2^{1}+k_{0}2^{0} = 2(k_{n}2^{n-1}+k_{n-1}2^{n-2}...k_{1})+k_{0}$

上式表明，若将 $(S)_{10}$ 除以2，则商为 $(k_{n}2^{n-1}+k_{n-1}2^{n-2}+...+k_{1})$ ，而余数即为 $k_{0}$ 。同理，

上式所得商再除以 2，有

$k_{n}2^{n-1}+k_{n-1}2^{n-2}+...+k_{1}= 2(k_{n}2^{n-2}+k_{n-1}2^{n-3}+...+k_{2})+k_{1}$

即将 $(S)_{10}$ 除以2得到的商再次除以2，所得余数即为 $k_{1}$ 。

以此类推，反复将每次得到的商再除以 2，就可求得对应二进制的每一位了。

若 $(S)_{10}$ 是一个十进制小数，等值的二进制小数为 $(0.k_{-1}k_{-2}...k_{-m})_{2}$ ，则

$(S)_{10}=k_{-1}2^{-1}+k_{-2}2^{-2}+...+k_{-m}2^{-m}$

两边同乘2得，

$2(S)_{10}=k_{-1}+k_{-2}2^{-1}+...+k_{-m}2^{-m+1}$

即小数 $(S)_{10}$ 乘以 2 所得的乘积的整数部分就是 $k_{-1}$ ，同理，将乘积的小数部
分再乘以 2 可得：

$2(k_{-2}2^{-1}+k_{-3}2^{-2}+...k_{-m}2^{-m+1})=k_{-2}+(k_{-3}2^{-1}+...+k_{-m}2^{-m+2})$

亦即其乘积的整数部分就是 $k_{-2}$ 。

以此类推，将每次乘2得到的乘积的小数部分再次乘以2，就可求得对应二进制

小数的每一位了。