有理数

有理数

整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数（rational number）。

所有的数不一定都是有理数

概况

整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零3种数。由于任何一个整数或分数都可以化为十进循环小数，反之，每一个十进循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进循环小数。有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，就称a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集不是稠密的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性，整数集没有这一特性，因为两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

运算法则

加法

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

注意：

一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

减法

减去一个数，等于加这个数的相反数。

两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。一不变：被减数不变。可以表示成： a－b=a+（－b）。

乘法

1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。例：（-5）×（-3）=15           （-7）×4=-28。

2.任何数同0相乘，都得0。

3.乘积为1的两个有理数互为倒数。例如-1/2与-2。

4.几个不是0的数相乘时，负因数得个数是偶数时，积是正数；当负因数有奇数个数时，积是负数。例：2 ×3 × 4×（-5）的积是负数，而（-2）×（-3）× (-4）× (-5）的积是正数。

5.几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0。

除法

1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。

注意：

0在任何条件下都不能做除数。

混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。

相关概念

有理数是特殊的实数，实数的相关概念非负数、非正数、相反数、数轴、绝对值等对有理数也适用。

非负数，非正数

非负数：正数与零的统称。

非正数：负数与零的统称。

相反数

（1）定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数。

（2）求相反数的公式: a的相反数为-a。

（3）性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。

（4）注意：0的相反数是0。

数轴

（1）定义（“三要素”）:具有原点、正反方向、单位长度的直线叫数轴。

作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如 都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。

绝对值

（1）代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。

（2）几何定义：数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

①符号"││”绝对值的标志；

②数a的绝对值只有一个；

③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号，如果有“-”要继续计算。