火车运煤问题

这个题的解答并不难，有很多网友都给出了答案，但是想说清楚道理还是比较绕弯。如果想做编程做模拟，代码很简单，但是一些边界条件、中间过程都很绕，所以把这个不是编程题的编程题放在这里解答一下，供参考。

根据题意可知有三种运输方式，分别是成本为5，成本为3，成本为1. 下面简称T5，T3，T1.  

首先给出最优策略1：用完所有能源，也就是运到终点的能源 + 路上消耗的能源=3000。否则，不论剩余多少能量，我们总可以后退一点，再多装一些，按照三种运输方式之一，多运一点能量到终点。

下面引入运输能力这个概念：
以T3举例，从起点向终点方向走2趟，最大可装载2000，运到距离为delta的某点之后，最大剩余2000-delta，因此称T3的运输能力C3 = 2000-delta <= 2000，(delta >= 0)。也就是说，T3最多能运送不超过2000的能量，超过2000就有剩余能量.
同理T5的运输能力C5 = 3000-delta <= 3000，T1的运输能力C1 = 1000 - delta <= 1000.

这样，我们就得出最优策略2：在运输能力范围内，选用成本最低的方式。用R表示剩余未被运输的能量样，由策略1和策略2可知最优的运送方式：
2000 <= R <= 3000, 用T5方式
1000 <= R <= 2000, 用T3方式
0 <= R <= 1000, 用T1方式

即，先用T5消耗1000，剩余2000之后用T3方式再消耗1000，最后用T1方式运输余下能量。因此最优解为：
T5: 运输距离 x = 1000/5 = 200
T3: 运输距离 y = 1000/3 = 333.333
T1: 运输距离 z =1000 - x - y = 466.667
运送到终点的最大能量 = 1000 - 466.667 = 533.333

证毕.

进一步推广：
首先简化上面的计算过程：  
最大能量 = 1000 - z = 1000 - (1000 - x - y) = x + y = 1000 * (1/3 + 1/5).

现在有初始能量X（假设X可被1000整除，否则可以同理做推广），按照最优策略1和2可得：

最大需要的运输能力的方式Tmax=X/1000 * 2 - 1
所以，能够运输的最大能量 = 1000 * (1/3 + 1/5 + ... + 1/Tmax)
用归纳法很容易证明此结论。
 

因为1/3+1/5+1/7+...是发散的，理论上可以运送任意初始能源X，但是考虑到单程最大能力为1000，所以只要X比1000多一点，就可以用T3方式先运送一点，剩余采用T1，因此，约束条件为X > 1000.

 

最后提个问题，如果希望能够卖到集市上1000吨煤，那么最少需要初始有多少吨？

你才山西煤老板！！！