火车运煤问题

昨天面试被问到一道面试题，遗憾没有给出最优解。现列如下，给以后面试的同学个参考。

煤矿有 3000 吨煤要拿到距离为 1000 km 的市场上卖，有一辆火车可以用来运煤，火车最多能装 1000 吨煤，且火车本身需要烧煤做动力，每走 1 公里消耗 1 吨煤，如何运煤才能使得运到市场的煤最多，最多是多少？

图1 示意图

先说说当时我的思路：

1.因为路途比较远，故中途必然可以允许放置煤，且可以再次回到出发点。

2.第一次出发，拉 1000 吨，跑 250 公里，将 500 吨煤放下（记为 M1），然后返回到 A；

3.第二次出发，拉 1000 吨，跑到 250 公里时，从 M1 处取 250 吨煤，刚好弥补用掉的 250 吨煤，再跑 250 公里。放置 500 吨，记为 M2，然后返回。到 M1 处时，取剩下的 250 吨

煤，刚好回到 A；

4.第三次出发，拉 1000 吨，跑到 M2 时，取回剩下的 500 吨，刚好弥补用掉的 500 吨，跑到 B 时，还剩下 500 吨。

因此，最后可以剩下 500 吨。

当时，面试官说这不是最优的解，我又想了一会，还是想不出更好的解。后来面试官就问别的了（最后面试官还是让我过了）。这里插一句，面试时，对于一个问题就算你当时回答不上来，也不用紧张，面试官并不是想难住你，而是从各方面考察你。对于一两个问题你答不上来，其实后果并不会很严重，他可能会转而问其他的问题，争取多了解你，知道你的长处，你的短处。一般来讲，答到 80% 的问题就很不错了。

后来回来再认真想了一下，想出了最优解。其实这题去分析细节会很麻烦。你可能会有这些疑问，火车应该来回多少趟？火车每次经过一个临时储煤点的时候，应该从里面取多少煤合适？诸如此类细节麻烦的问题！下面给出一种思路，只需要从总量上考虑即可。

思路：

1.首先，火车必然要折返，回到 A 点，也即，他肯定会从 A 出发两次或以上。下面分情况讨论。

2.设火车从 A 出发两次，则中途有一个储煤点。作图如下：

图2 出发两次

箭头线表示火车行驶路线，数字表示时序。

很明显，要达到最优解，得满足两个条件：

1.火车在离开储煤点（设为 M）时有最大可能的煤（1000 吨）

2.M 尽量远。

设 M 距 A 为 x 吨煤跑的距离，1000 - 2 * x 为火车在 M 处储下的煤的数量。1000 - x 为第二次出发，到 M 时煤的数量。在 M 时，火车将煤装上，总数为 1000 - 2x + 1000 - x = 2000 - 3x 公里的煤，此时，火车已经跑了 x 公里，还需要 1000 - x 公里的煤。于是，我们求 (2000 - 3x) - (1000 - x) 的最大值即可。

先求 x 的取值范围：(0,500)，即火车最多跑 500 公里远（此时，在 M 处放置 0 吨煤，因此是开区间）。

第二次出发，经过 M 时，总煤为 2000 - 3x ，但火车最多只能装 1000，所以 2000 - 3x <= 1000 即 x >= 333

综上，x 取值范围为 [333,500]

(2000 - 3x) - (1000 - x) = 1000 - 2x。故最大值为 1000 - 2 * 333 = 334。

其实也不用这么计算，这样太麻烦了。可以这样想，火车在离开储煤点时，必然是满载才是最划算的。这里你可能要争辩，如果储煤点不能满足火车满载，但是储煤点比较远，是否也能达到最优解呢。画图示意：

图 3 哪种更优

答案是，方案 1 更优，也即能提供满载的更优。可以这样解释：方案 2 可以看作是方案 1 中的火车继续往前开到一个点，然后放下一定的煤。设 Y = M2 - M1，很明显，火车为了多跑 Y 路程，付出了双倍的煤（去，来）。如果把这 Y 路程留给下次火车去跑，则他只用付出一次 Y 的煤，所以多跑 Y 其实是不划算的，即，提供满载方案必定是最优的。

因此，图 2 的情况可以这样计算：火车离开储煤点时，应该满载，故 2000 - 3x = 1000；故 x = 1000 / 3，故可以剩下 1000 - （1000 - 1000 /3） = 1000 * (1/3)（也即原解法的 334，因为中间有近似计算）。

上面讨论的是从 A 出发两次，且中途只有一个储煤点，如果从 A 出发三次，且中途有两个储煤点。作图如下：

图4 出发三次

由上面红色字体所描述的，每次火车经过 M1 向 B 开进时都满载，且每次经过 M1 向 A 开进时都空，且装载的煤刚好够火车开回到 A；每次火车经过 M2 向 B 开进时都满载，且经过 M2 向 A 开进时都空，且在 M2 装载的煤刚好够开到 上一个储煤点 M1。

如此，便能达到最优解。设 A 距 M1 为 x，M1 距 M2 为 y，因此可以很方便地列出式子：

1000 = 5 * x

1000 = 3 * y

剩余的煤为：1000 - (1000 - (x + y)) = x + y。计算结果为 1000 * (1/3 + 1/5) = 533.3 吨。

综合前面的看来，有如下的规律，设中途有 n 个储煤点，则最优的解为：

1000 * (1/3 + 1/5 + ...... + 1/(n + 2))，很明显，中途储煤点越多，则最优解值越大。

但是，每回去一趟，都要取 1000 吨煤，题目给定煤只有 3000 吨煤，所以只能回去三次，即只能有两个中途储煤点，即最后的最优结果为 533.3 吨。