nyoj311-完全背包（01背包更深入理解）

本题与01背包类似，但存在两处不同：

一、要求背包必须恰好装满，以此为前提下才考虑最大价值；
二、给定的不再是物品数量，而是物品种类数，每类物品数量无限。

回想01背包，运行初始时要将结果记录数组初始化为0，这一行为其实就代表着列出“有0个物品时，容量为i的背包（i=0,1,2.....）可以容纳的最大价值”，因为物品数为0，所以不论背包容量多大，答案都是0；

再看本题，因为要求背包必须被装满，所以在物品数为0时，只有背包容量也为0才能算符合条件，0件物品相应价值为0；而除0容量外的任何情况，都不满足条件，所以将其设定为一个特殊值“-INF”

先贴代码再接着说

#include<cstdio>#include<cstring>int main(){int num,n,c,w,v,s[50005];scanf("%d",&num);while(num--){scanf("%d%d",&n,&c);memset(s,-125,sizeof(s));  //将所有元素置为近似无穷小s[0]=0;while(n--){scanf("%d%d",&w,&v);for(int i=w;i<=c;++i)  //从前往后，不再是从后往前s[i]=s[i]>s[i-w]+v ? s[i]:s[i-w]+v;  //二者取较大}if(s[c]>0) printf("%d\n",s[c]);else printf("NO\n");}}

由代码可以看出第二处不同就在于滚动数组不再是从后向前，而是从前向后，原因如下：

01背包问题中，每件物品只能使用一次而且从状态转移式中可以看出每次的比较都是将当前格与相对其靠左的格中数字相比较，也就是说对于当前格子来说，需要左侧的格子保持上次的结果才可以得出最终的正确答案

而对本题来说，因为每类物品数量不限，也就可以看成一件物品可以重复使用，这就正需要每次都刷新上次保存的数据！

举例说明：

现只有重量、价值都为2的物品，

在01背包的要求下，要装入容量2的背包，与容量4、6、8、10...的背包，结果都是一样

012345678910...00222222222...而在本题要求下，情况则变为：

0    12    34    56    78    910   ...  0-INF2-INF4-INF6-INF8-INF10...比如s[4]=max{s[4],s[4-2]+2} , s[6]=max{s[6],s[6-2]+2} , s[8]=max{s[8],s[8-2]+2}...  (s[i]初始时都是负无穷

由此可见，“从前向后”的滚动方式恰好满足了“每类物品数量不限”这一条件～！

至此，前面提出的两点不同都已经解决了，不过还有一个小问题：判断是否装满

仔细想想，因为每个物品只能装到足够容纳他的背包中，所以代码中内循环for是从i=w开始，这也就保证了表格中存在“-INF”（除非有哪个物品重量为1，这样只要背包不为0，都可以装满），可以参看上面的表2，在i=3的时候，s[i]=max{s[i-w]+v,s[i]}即s[3]=max{s[3-2]+2,s[3]}，而负无穷大减2还是负无穷大...所以算到最后，只需判断s[c]是否大于零即可知背包是否可以被装满～～