排队找零问题

这几天看《计算机常用算法与程序设计案例教程》--清华大学出版社

一场球赛开始前，售票工作正在紧张的进行中。每张球票为50元，现有30个人排队等待购票，
其中有20个人手持50元的钞票，另外10个人手持100元的钞票。假设开始售票时售票处没有零钱，求出这30个人排队购票，
使售票处不至出现找不开钱的局面的不同排队种数。（约定：拿同样面值钞票的人对换位置后为同一种排队）

m为有50元的人数，n为有100元的人数

试图对m和n用归纳法，比如f(m,n) 与 f(m-1,n)的关系，用排列组合想了想了也很久没想出来，

看书上答案很简单

f(m,n) = f(m,n-1) + f(m-1,n)

看了书上解释：

令f(m,n)表示有m个人手持50元，n个人手持100元的钞票时共有的方案总数。分三种情况来讨论这个问题

1）n=0时，这意味这所有的人都是50元的钞票，所以f(m,n)=1;

2)m<n;此时意味着排队购票肯定会出现零钱不够的现象，因此f(m,n)=0;

3)其他情况，第m+n个人站在第m+n-1个人的后面，则第m+n个人的排队方式可由下列两种情况获得：

  a)第m+n个人手持100元的钞票，则在它之前的m+n-1个人有m个人手持50元，和n-1个人手持100元钞票，此种情况有f(m,n-1)种

  b)第m+n个人手持50元的钞票，则在此之前的n+n-1个人有m-1个人手持50元，和n个人手持100元钞票，此种情况有f(m-1,n)种

一直没理解这个思路，感觉是错的。

今天又想了想，明白了，这个思路不是在对m或n进行归纳，而是直接分类讨论，

最后一个人要么是50的，要么100的。只能是这两种情况，又因为同样面值的人换位置看做一种情况，所以可以这么讨论。