图算法 网络流问题

一个有向图G = （V,E），边容量为c(v,w)。一个发点s，一个收点t。

最大流问题是确定s到t可以通过的最大流量。

左边为原图G，中间位流图Gf，表示算法任意阶段已经达到的流（初始为0），右边为残余图Gr，表示对于每条边还能再添加上多少流。

在每个阶段，寻找Gr中从s到t的一条路径（增长通路）约定，一旦注满一条边，则这条边就要从残余图中除去。当发现Gr中没有通路时算法终止。

算法终止时，正好5个单位的流是最大值。

问题在于，如果刚开始选择s,a,d,t,这条路径容纳3个单位，算法终止，但是不是最优。

为了解决这个问题，对残余图进行一些修改，对于流图中具有f(v.w)的每一边（v，w），将残余图中添加一条容量为f（v,w）的反向边（w.v）。

如果在这样的残余图中没有增长通路，可以证明，如果边的容量是有理数，那么该算法总以最大流结束。

虽然可以解决问题，但我们每次应该总选择容许在流中最大增长的增长路径，以减少寻找增长通路的次数。