组合数学_10月9号讲义

-----------------------------------组合数学_10月9号讲义-----------------------------------

第一节课：

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这是一个什么？多项式，G(x)什么意思，函数，但是在课本上有这样一个定义

                                  定义2-1  对于序列c0, c1, c2…, 构造一函数

                                                 G(x)= c0+c1x+c2x2+…,

                                   称G(x)为序列c0, c1, c2…的母函数。

函数用来干什么，函数中最重要的是什么，自变量x，然后拿x讨论目标函数是否收敛，x的有效范围是多少，能够保证他极大值是多少，极小值是多少。

这里面，起了一个新的名字，多了一个定语 母。

书上说，这个函数被称为母函数，他用来干什么，组合数学主要内容是计数，用的最多的计数工具要算母函数。他说这个函数是用来计数的，他叫母函数。那么他还是不是函数呢？今天这堂课，主要来解决，母函数到底是什么？

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百度百科

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举个例子，把筛子扔出去，如果出来和值为6点，有多少种可能性？这两个筛子有顺序，一开始的感觉是数，枚举。相当于把6拆成两个自然数，两个自然数怎么数法？数数有两种思路，一种分步，先看第一类数有几种可能性，他最多是六，所以他是一到五，第一位一旦确定了，第二位必然就确定了。所以按照分步的思想，第一步五种方法，第二步一种方法，乘法法则，出来是5。

还能分类来看，比如1和5,5和1，或者2和4，4和2，或者3和3，他们之间是或的关系，我们用的是加法法则。

这就是我们一看就直到，我么要计数，就得会数数或者枚举，在枚举的就是乘法和加法法则。

这是做任意题目最基础，最原始的方法，这个方法对两个筛子有效，出来n个筛子怎么办？300年前，伯努利，

•投掷m粒色子时，加起来点数总和等于n的可能方式的数目？

怎么做这个问题，对于m个我们实在没有办法，我们只能把它简化一下，就投两个筛子，两个之和等于n，怎么做呢？

刚才枚举的做，现在能不能还看枚举呢？比如说，一个筛子一个筛子来看，第一个筛子有多少种可能性，6中，我如果按照这种图片进行表示的话，非常麻烦，能不能找一个更形象的方法，这里是两个点，怎么表示两个点合适呢？直接写个2，太直白了，这个点是不是可以看做，先填一个点，再填一个点，这里看到的是什么？如果用点来表示的的话，对于这个点来说，先添了一个点，又添了一个点，分两步来做，这时候实际上是一个点的平方。

一个点可以这样表示，两点、三个点跟他之间是或的关系，是不是应该用加，把这些点的多少次方加在一起，走到这里来看，这个思路对不对？

投掷筛子，第一个筛子用点的平方来表示，点不好看，x平方特别熟悉，这时候看，用x平方能不能表示出来我投掷筛子的过程呢？2个点x平方，4个点用x的四次方，投掷出去应该得到多少？应该加起来总和6个点，对应于第一个是点的平方，第二个是点的4次方，他们之间是两步完成的，所以应该用乘法法则，一乘，得到的确实是x的6次方，这里发现，可以拿幂次，就是指数来对应点数。这实际上是母函数方法的一个思维的跳跃，最关键的地方。我能通过加法法则和乘法法则发现，我想表示点，不能**直接去表示，我要拿什么东西放到加法法则里面去呢？实际上点和点之间我可以用点的若干次幂来表示，而点肯定不好看吧！大家已经到大学了，肯定希望有一个形式化的表示工具，比如说x的平方，x平方表示2个点，x4次方表示4个点，恰好我们发现，利用乘法法则，幂次的运算和投掷筛子的分布完全一致，这时候，可以用一个式子来表示一个筛子，这个筛子用一个式子，第二个筛子同样一个式子，第一个筛子和第二个筛子是一个分布的关系，他两个应该乘一块，这两个多项式想乘，能不能表示出筛子的投掷过程呢？

再看一下刚才的问题，要求两个筛子加起来等于6，能不能在多项式的相乘里面表现出来。发现，如果想要求得6个点的结果，他就是x的六次方，他怎么在乘法中得到，他在多项式乘法，第一个筛子出一个点，第二个筛子配对的就要出5个点，所以在用x的多少次方表示点数的时候，就是x的一次方乘以x的5次方，只是6个点的一种情况。12:52：52