克拉默法则的简易证明

来源：互联网发布：中文作曲软件编辑：程序博客网时间：2024/04/28 18:07

克拉默法则：假设 $A$ 是一个可逆的 $n\times n$ 矩阵，对 $\mathbb{R}^{n}$ 中任意向量 $\vec{b}$ ，方程 $A\times \vec{x}=\vec{b}$ 的唯一解可由下式给出：

$x_{i}=\frac{det A_{i}(\vec{b}))}{det A},i=1,2,...,n$

证明：

用 $\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$ 表示 $A$ 的列，用 $\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}$ 表示 $n\times n$ 单位矩阵 $I$ 的列，若有 $A\times \vec{x}=\vec{b}$ ，则

$A\cdot I_i(\vec{x})=A[\vec{e_1}~\vec{e_2}~...~\vec{x}~...~\vec{e_n}]\\ =[A\vec{e_1}~A\vec{e_2}~...~A\vec{x}~...~A\vec{e_n}]=[\vec{a_1}~\vec{a_2}~...~\vec{b}~...~\vec{a_n}]=A_i(\vec{b})$

由行列式的乘法性质得

$det(A)(det(I_i(\vec{x})))=det(A_i(\vec{b}))$

因

$det(I_i(\vec{x}))=(-1)^{i+i}\cdot x_i\cdot det(I_{n-1})=x_i$

可得

$det(A)x_i=det(A_i(\vec{b}))$

故有

$x_i=\frac{det(A_i(\vec{b}))}{det(A)},i=1,2,...,n$

证毕。

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