克拉默法则、逆矩阵、体积

这一篇主要介绍行列式的3个应用：求逆矩阵、方程求解、计算面积和体积。

应用1：求逆矩阵

首先直接给出求逆公式 是A的代数余子式矩阵（matrix of cofactors）， ，其中C11为元素a11的代数余子式，以此类推。那么要证明上面的逆公式成立，即要证明 成立，将此公式展开成下式后我们知道 确实是成立的。

因为对于对角线元素，它们分别等于

这些加起来都等于detA，至于非对角线元素，由于它们都是某数乘以代数余子式然后相加的形式，所以我们可将其看成是某个矩阵As的行列式，比如说对于 ，那么A的第2行看成是As的某行，因为C11…C1n是A第1行元素的代数余子式，所以同时C11…C1n中又包含了A的第2行，因此As中有两行相同，因此As的行列式为0。

应用2：求解方程

因为前面有了求逆公式，因此对于Ax=b有 ，克莱姆法则（Cramer’s rule）其实就是在此公式基础上做了进一步讨论，克莱姆从这个公式中得出了， …，并且他发现了这些矩阵B1、B2…的规律，B1就是将矩阵A的第一列用b来代替得到的矩阵，Bj就是将矩阵A的第j列用b来代替得到的矩阵，因此 ，但是克莱姆法则实在是不实用，计算很不方便，因此不建议用它们来计算x。

应用3：求面积和体积

行列式可用来求二维形状的面积或三维形状的体积，2阶行列式对应的是平行四边形的面积公式，比如上面的图中，已知两个向量的坐标分别为（a,b），（c,d），现在要求这两个向量构成的平行四边形的面积，按照正常思路我们应该求得平行四边形的底和高，然后利用面积公式，但是很明显这样做非常麻烦，现在利用行列式直接求，不需要任何边长和角度，有：面积= ，这个内容非常重要，而且求得了平行四边形的面积，这两个向量围成的三角形面积也很好求，即为平行四边形面积的一半。但是如果三角形顶点不在原点呢？比如说把三角形移到某处，三个顶点的坐标分别为（x1,y1），(x2,y2)，(x3,y3)，则同样可以用行列式来求，即面积= ，其实消元过程就是在将三角形移回原点，以上是2维的情况，在三维里，3*3单位阵对应的是顶点位于原点的正方体；正交矩阵Q对应的也是一个立方体，因为正交矩阵的特点是各列都正交，只不过跟单位矩阵对应的立方体不同之处在于这个立方体被旋转了。