线性代数：第一章 行列式（2）行列式按行（列）展开 克拉默法则

第三节 行列式按行(列)展开

一．数学概念

余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素  所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素  的余子式，记作  ，记

 ,

 叫做元素  的代数余子式。

二．原理，公式

引理  一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除  外都为零，那么这行列式等于  与它的代数余子式的乘积。

定理3.1  行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即

                  

或                     

推论  行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

                  

范德蒙德(Vandermonde)行列式

三．重点，难点分析

本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的值。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零，而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。

Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式，但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难，当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。

四．典型例题分析

例2．设4阶行列式的第2列元素依次为2，m,k,3，第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式值为1，求m,k。

解：这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得

即                         

解得 

例3．计算

解：本题从表面上它不是Vandermonde行列式，但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式，将D的第1列分别乘  加到第3列，得

第四节 克拉默法则

一．数学概念

1．非齐次线性方程组

其中右端的常数项  不能全为零。

2．齐次线性方程组

二．原理，公式和法则

克拉默法则

设非齐次线性方程组

若方程组(1)的系数行列式

则方程组(1)有唯一解

其中  是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

定理4.1  如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。

定理4.1’  如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理4.2  如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。

定理4.2’  如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。

三．重点，难点分析

我们用行列式的性质和展开定理计算各种形式的行列式，其最终目的是解未知数的个数与方程组的个数相同的线性方程组。我们要重点掌握克拉默法则，会用克拉默法则解线性方程组。在使用中注意定理4.1，4.2及其逆否定理的区别，联系和应用。

四．典型例题分析

例1．解线性方程组

解：

       

于是得 

例2．问  取何值时，齐次线性方程组

有非零解？

解：由定理4.2’可知，若齐次线性方程组有非零解，则上式的系数行列式D＝0。而

由D=0，得  =2,  =5或  =8。不难验证，当  ＝2,5或8时，题给齐次线性方程组确有非零解。

本章小节

行列式的概念是基础。

行列式的性质是关键。

行列式的计算是重点。

用行列式解线性方程组是目的。

 

_{from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm}