N的倍数-鸽巢原理

知道的定理，原理，推论太多了，但是真正有个问题放在你面前的时候，你是否能够通过分析解决呢？

 

什么是鸽巢原理

 也没有一个比较官方的说明，大都是一些例子，比如：

鸽巢原理即抽屉原理（抽屉原理）。

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果

更多的例子及证明：

http://baike.baidu.com/view/8899.htm?fromtitle=%E9%B8%BD%E5%B7%A2%E5%8E%9F%E7%90%86&fromid=731656&type=syn

 

下面是一个试题，开始我没有想到此原理：

一个长度为N的数组A，从A中选出若干个数，使得这些数的和是N的倍数。

例如：N = 8，数组A包括：2 5 6 3 18 7 11 19，可以选2 6，因为2 + 6 = 8，是8的倍数。

Input

第1行：1个数N，N为数组的长度，同时也是要求的倍数。(2 <= N <= 50000)第2 - N + 1行：数组A的元素。(0 < A[i] <= 10^9)

Output

如果没有符合条件的组合，输出No Solution。第1行：1个数S表示你所选择的数的数量。第2 - S + 1行：每行1个数，对应你所选择的数。

Input 示例

 

825631871119

Output 示例

226

 

这道题目见过类似的，求连续几个数的和是N的倍数，注意连续，很容易想到是鸽巢原理，但是这里没有连续二字。问一些人，好多人有说dfs，背包等等等等。。。。

更迷惑人的一句话就是，如果没有符合条件的，输出 No Solution。可能存在这种情况吗？

 

手动证明一下：

无论连续不连续，设si为前i个数的和，那么如果si%N==0，那么前i个数就满足了条件。如果不存在si%N==0，那么从s1到sN这N个数对N取余，范围肯定是0-N-1，但是前面已经说了没有=0的情况，那么也就相当于N个余数放到N-1个框中，肯定有两个在一起。也就是存在i!=j，（sj-si）%N==0.

也就是说，不存在No solution的情况。

 

代码：

写的比较乱，其实两个数组就够了，这里我用了3个，hash表示此余数已存在，pos表示下标为某余数的数的位置，num就是保存所有的数

#include <iostream>#include <stack>#include <vector>#include <algorithm>#include<cstdlib>#include <cstring>using namespace std;int N;int hash[50002];int pos[50002];int num[50002];int main(){while (cin >> N){//int num;__int64 sum = 0;memset(hash,0,sizeof(hash));memset(pos,0,sizeof(pos));int i = 0;for (; i < N; ++ i){cin >> num[i];sum += num[i];if (sum%N == 0){cout << i+1<< endl;for (int j = 0; j <= i; ++ j){cout << num[j]<<endl;}break;}else if (hash[sum%N] == 1){cout << i - pos[sum%N] <<endl;for (int j = pos[sum%N]+1; j <= i; ++ j){cout << num[j] << endl;}break;}pos[sum%N] = i;hash[sum%N] = 1;}while(++i < N){cin >> num[0];}}return 0;}