二叉树

        在上堂课中，我们将到了树这个定义。在树中，有很多的概念，比方说，从单独的节点来分，就可以有根节点以及叶子节点的区别；从纵向的关系来说，就有父亲，祖先，儿子，孙子之类的划分；从横向的关系，就有兄弟的关系属性的表达。树的高度我们用深度来表示，从根节点开始分别是第一层，第二层，依此类推。而根据根节点以及叶子节点的划分标准，又可以引申出度的概念。所谓度，就是指节点的分支数目。

        今天我们讲什么呢？我们为大家讲述一种特别的树，这种树有什么特点呢？第一个特点就是树中的任何一个节点的度，也就是分支的数目不超过2个。好，现在请大家可以自己根据这个条件画一下符合这种条件的树出来。我们可以看出符合这种条件的树，有很多很多，现在呢，我根据前面的情况发现大家画的树，基本上都是差不多的，我为大家画几棵特别一点的树，大家来分析一下，这些树符不符合我们所说的特点。

        如果一个根节点只有一个分支，这样的树，其实也有很多种画法，其中一种画法是分支在左边，另外一种画法是分支在右边。很多同学就问了，在左边和在右边不是一样的吗？有什么问题，在我们数据结构这棵特别的树里，除了上述要求以外，还必须满足，分支有顺序的要求。也就是说，分支方位不一样，形成的树是不一样的。为什么只有两个方位可以供选择呢？原因很简单，因为我们最多是只有两个分支。

       至此，我们得到了关于这种树的二个定义，而这种特别的树，也有一个很特别的名字就是二叉树。

       好，二叉树的种类其实也蛮多的，我们就根据树的高度来划分，请做一个很简单的练习，画一棵深度为4的二叉树，要求你画的二叉树的节点数目是所有深度为4的二叉树中，节点数目最多的。好，其实很简单，大家可以看到，这棵树啊，为了使得节点数目最多，我们选择了使得每个节点都尽量挂满分支。像这种除了叶子节点以外，其他节点的分支都是2的二叉树，我们称之为满二叉树。能不能请大家算一下，这个满二叉树的节点数总共是多少？怎么算的？第一层是1个节点，第二层是2，第三层是4，第四层是8，所以总共是1+2+4+8 = 15个节点。那么如果是深度为5的满二叉树呢？我们其实是可以推导出一个公式的，即深度是 n的满二叉树的节点数目是2的n次方减1。既然我们可以把满二叉树的总节点数都可以计算出来，具体每一层的节点数目自然是不在话下了。

      有时候，我们为了方便说明，常常会把每个节点进行编号。比如说根节点就是1号，第二层的按顺序依次是2,3,，第三层的是4,5,6,7，第四层的分别是8,9,10,11,12,13,14,15。

而其他类型的二叉树就是在满二叉树的基础上进行修改的。比如说，删除13号节点，删除15号节点都可以形成不同的二叉树。在这里，如果删除的节点是从末尾开始连续删除的话，那么这种二叉树，称为完全二叉树。因为节点编号，中间没有漏缺。所以称完全二叉树。

      给每个节点编号，有什么好处？就是容易把所有节点的父子关系描述清楚，比如说，2,3号节点的父亲的编号是1.而4,5号节点的编号是2，我们归纳一下，就是节点是n的父亲编号是【n/2】,而它的孩子节点的编号是2n,2n+1.这个其实比较容易理解的。

      先前的知识点都是说，已经知道深度，求节点的最大数目。最后我们要反向做两个结论。第一个结论是关于，已知节点数目，然后求树的深度的问题。

     问题一：节点数目是n的完成二叉树，它的深度是多少？

     第二个问题，就是更细节一点了，我们知道，二叉树中的节点的度数最多的是2，那么就是也可能存在度数为1，和度数为0的节点。我们想知道的是，度数为2的节点个数与叶子节点个数有什么关系？