2013 ACMICPC Hangzhou Rabbit Kingdom

Rabbit Kingdom

题目描述

给一个N个数的序列，M个询问，每个询问两个数L , R 。 问 [L , R] 中有多少个数和区间中所有数（除了自己都互质）

解法

首先肯定要O(N * sqrt(N)) 预处理出每个数互质的话左右分别能延伸到什么地方，记为l[i] , r[i].

接下来就有两种解法了

Solution Of cxlove 

她是爱酱，喵~ http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents

爱酱的解法应该是正解，用一个BIT来维护哪些数是可以的。

将所有的 l[i] 位置用边表插入 i ，以备后面之用

首先把询问按照 l 离线，然后将 l[i] < 1(也就是能左边撑到头)的数字 在 i 的位置 + 1 , 如果 r[i] <= n 那么 r[i]  的位置 -1 。 那么前缀和就是这个数字能够覆盖到的位置。

考虑一个区间左指针，当询问改变的时候，区间左指针 left 右移，同时把当前的数字恢复——即 left 位置 -1 ， 如果 r[left] <= n 那么 r[left] 位置 +1。

这时候，我们就要用上那个边表了，对于l[i] 在 left 的数字，那么在 left 之后都是可以的，所以我们遍历所有 left 位置的边表，设为 pos[left][j] 是他的 id 。 那么 pos[left][j]

 这个位置就是可以的，我们 + 1 , 同时一样，他的右边位置就要 -1 ( r[pos[left][j]] ) 。

这样我们在扫到询问位置 q[i].l 的时候，只要查询 l , r 之间有多少个 数字是可以的就好，那么就是 sum (q[i].r) - sum (q[i].l - 1); 。 这个问题就被解决了

code

typedef long long LL;const int N = 200005;template<class T> inline T& RD(T &x){    //cin >> x;    //scanf("%d", &x);    char c; for (c = getchar(); c < '0'; c = getchar()); x = c - '0'; for (c = getchar(); '0' <= c && c <= '9'; c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';    //char c; c = getchar(); x = c - '0'; for (c = getchar(); c >= '0'; c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';    return x;}struct Query {    int l , r , id;    void input (int i) {        id = i;        RD(l); RD(r);    }    bool operator < (const Query &q) const {        return l < q.l;    }}q[N];int n , m , a[N] , s[N];int flag[N] , prime[N] , cnt , minfac[N];int fac[N][20] , p[N] , l[N] , r[N];vector <int> pos[N];void Init () {    for (int i = 2 ; i < N ; i ++) {        if (!flag[i]) {            prime[cnt ++] = i;            minfac[i] = i;        }        for (int j = 0 ; j < cnt && prime[j] * i < N ; j ++) {            flag[i * prime[j]] = 1;            minfac[i * prime[j]] = prime[j];            if (i % prime[j] == 0) break;        }    }    // minfac[1] = 1;    // fac[1][0] = 1;fac[1][1] = 1;    for (int i = 2 ; i < N ; i ++) {        fac[i][0] = 0;        int m = i;        while (m != 1) {            fac[i][++ fac[i][0]] = minfac[m];            m /= minfac[m];        }    }}void add (int idx , int v) {    // cout << "update : " << idx << " " << v << endl;    for (int i = idx ; i <= n ; i += lowbit (i))        s[i] += v;}int sum (int idx) {    int ret = 0;    for (int i = idx ; i > 0 ; i -= lowbit (i))        ret += s[i];    return ret;}int ans[N];int main () {    #ifndef ONLINE_JUDGE        freopen ("input.txt" , "r" , stdin);        // freopen ("output.txt" , "w" , stdout);    #endif    Init ();    while (RD(n) , RD(m) , n + m) {        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++)            RD(a[i]);        for (int i = 0 ; i < N ; i ++)            pos[i].clear ();        memset (p , 0 , sizeof(p));        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {            int idx = 0;            for (int j = 1 ; j <= fac[a[i]][0] ; j ++)                idx = max (idx , p[fac[a[i]][j]]);            for (int j = 1 ; j <= fac[a[i]][0] ; j ++)                p[fac[a[i]][j]] = i;            l[i] = idx;            pos[idx].push_back (i);        }        memset (p , 0x11 , sizeof(p));        for (int i = n ; i > 0 ; i --) {            int idx = n + 1;            for (int j = 1 ; j <= fac[a[i]][0] ; j ++)                idx = min (idx , p[fac[a[i]][j]]);            for (int j = 1 ; j <= fac[a[i]][0] ; j ++)                p[fac[a[i]][j]] = i;            r[i] = idx;        }        for (int i = 0 ; i < m ; i ++)            q[i].input (i);        sort (q , q + m);        memset (s , 0 , sizeof(s));        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {            if (l[i] < 1) {                add (i , 1);                if (r[i] <= n)                    add (r[i] , -1);            }        }        int left = 1;        for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {            while (left < q[i].l) {                add (left , -1);                if (r[left] <= n) add (r[left] , 1);                for (int j = 0 ; j < pos[left].size() ; j ++) {                    add (pos[left][j] , 1);                    if (r[pos[left][j]] <= n) add (r[pos[left][j]] , -1);                }                left ++;            }            ans[q[i].id] = sum (q[i].r) - sum (q[i].l - 1);            // cout << q[i].id << " " << ans[q[i].id] << " " << left << endl;        }        for (int i = 0 ; i < m ; i ++)            printf ("%d\n" , ans[i]);    }    return 0;}

Solution Of Dshawn

我的方法比较麻烦，按照 r 将询问排序。

用两个 BIT ， 维护可行的左区间位置数(也就是说我能要求右区间一定满足！！)

首先还是有一个左指针 first ， 当左指针 <= query[i].r 的时候一直右滑，与此同时：

1、那么对于 first 位置的这个数，L[first] 就是一个成功的区间，那么要 L[first] + 1；

2、我用边表在 R[first] 的位置 记录他的左指针位置和他自己的位置 addR(R[first] , L[first] , first);

3、对于右区间在 first 位置的区间肯定走远了，于是我们遍历边表，找到所有R[X] = first 的区间，删掉，那么就是将对应的 L[X] - 1 ， 并且我们记录删掉了 X ， 也是用BIT 在 X的位置 +1.那么通过这一步我们就把所有右区间 <= query[i].r 的都删掉了。

对于询问，答案肯定等于 query[i].r - query[i].l + 1(总共的元素个数) - 右区间不符合的、我们删掉的个数 - 左区间不符合的个数。要注意，左右区间都不符合的已经包含在右区间不符合的个数中了，我们不就记录在左区间不符合的个数内。

那么通过这个简单的容斥问题就解决了。

code

int n , m;const int N = 4e5 + 9;using namespace Math;struct Query{    int l , r , id;    bool operator < (const Query & A) const{        return r < A.r;    }}query[N];int W[N];int L[N] , R[N];int last[N];int tree[N];int deltree[N];void delOne(int x){    for ( ; x < N ; x += low_bit(x))        deltree[x]++;}int querydel(int x){    int ret = 0;    for ( ; x ; x -= low_bit(x))        ret += deltree[x];    return ret;}int head[N];struct Node{    int next;    int r;    int id;}node[N];int tot;void addR(int x , int r , int id){    node[tot].next = head[x];    node[tot].r = r;    node[tot].id = id;    head[x] = tot++;}void add(int x , int y){    for ( ; x < N ; x += low_bit(x))        tree[x] += y;}int getsum(int x){    int ret = 0;    for ( ; x ; x -= low_bit(x))        ret += tree[x];    return ret;}int ans[N] , stand[N];void debug(){    for (int i = 0 ; i < m ; ++i){        int ans = 0;        for (int j = query[i].l ; j <= query[i].r ; ++j){            bool ok = true;            for (int k = query[i].l ; k <= query[i].r ; ++k)                ok &= j == k || __gcd(W[j] , W[k]) == 1;            ans += ok;        }        stand[i] = ans;    }}void solve(){    n++;    for (int i = 2 ; i <= n ; ++i) {            RD(W[i]);//            W[i] = rand() % (int)2e5 + 1;//            printf("%d " , W[i]);    }//    puts("");    for (int i = 0 ; i < m ; ++i){//        scanf("%d%d" , &query[i].l , &query[i].r);        RD(query[i].l , query[i].r);//        query[i].l = rand() % (n - 1) + 1;//        query[i].r = query[i].l + rand() % (n - query[i].l);//        printf("Query %d %d\n" , query[i].l , query[i].r);        query[i].l++;query[i].r++;        query[i].id = i;    }//    debug();    sort(query , query + m);    for (int i = 1 ; i < N ; ++i) last[i] = 1;    for (int i = 2 ; i <= n ; ++i){        getFactors(W[i]);        L[i] = 1;        for (int j = 0 ; j < facCnt ; ++j){            checkMax(L[i] , last[factor[j][0]]);            last[factor[j][0]] = i;        }    }    for (int i = 1 ; i < N ; ++i) last[i] = n + 1;    for (int i = n ; i >= 2 ; --i){        getFactors(W[i]);        R[i] = n + 1;//        cout << "factor ";        for (int j = 0 ; j < facCnt ; ++j){//                cout << factor[j][0] << ' ';            checkMin(R[i] ,  last[factor[j][0]]);            last[factor[j][0]] = i;        }//        cout << endl;    }//    for (int i = 2 ; i <= n ; ++i) printf("[%d,%d]\n" , L[i] , R[i]);//    for (int i = 2 ; i <= n ; ++i)//        for (int j = i + 1 ; j <= n ; ++j)//            printf("%d %d %d\n" , i , j , __gcd(W[i] , W[j]));    RST(tree);    RST(deltree);    int first = 2;    tot = 0;    FLC(head , -1);    for (int i = 0 ; i < m ; ++i){        while(first <= query[i].r){            add(L[first] , 1);            addR(R[first] , L[first] , first);            for (int j = head[first] ; j != -1 ; j = node[j].next){                add(node[j].r , -1);                delOne(node[j].id);            }            first++;        }        ans[query[i].id] = query[i].r - query[i].l + 1 - (getsum(query[i].r) - getsum(query[i].l - 1) + querydel(query[i].r) - querydel(query[i].l - 1));    }    for (int i = 0 ; i < m ; ++i) {            printf("%d\n" , ans[i]);//            if (ans[i] != stand[i]) {//                    cout << "^^^" << endl;//                    system("pause");//            }    }}int main(){//    srand(time(0));    getPrime();    while(RD(n , m) , (n || m)) solve();}