破解芝诺悖论之阿基里斯追乌龟

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阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度v1，位置坐标0；乌龟速度v2，位置坐标s。已知v1>v2。他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到s时，乌龟已经又向前爬了s/v1*v2，位置s+s/v1*v2。于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

这个悖论其实很容易破解，网上那么多解法都把问题复杂化了。我现在给出一个破解方法，非常易于理解。众所周知，此类悖论引发了第二次数学危机，后来数学分析就变得很完善了。注意，数学分析是一门课的名字，是本科一年级的基础课。既然数学分析因此而改变，那就说明数学分析已经可以解决此问题了。为什么不用数学分析的理论解决问题呢？所以本文使用数学分析理论破解此悖论。但读者如果数学不好，理解就比较费劲。另外，请大家搞清楚时间、时刻的关系。

本文是在一维坐标系内讨论问题，并且不涉及相对论的东西，如果硬要应用狭义相对论，则在推导时加上系数即可。

把阿基里斯从一个起点开始跑并达到乌龟所留下的新起点的过程算作一次。我们把次数记为n，跑到新起点的时刻记为Tn，此时阿基里斯的位置记为An，乌龟位置记为Bn，两点距离记为Dn。

初始时，

第一次，

第二次，

数学归纳法易得（证明省略），第n次，

悖论其实说的是随着n的增大，Tn一直在变大，Dn一直在变小，但始终有Dn>0，那么阿基里斯永远追不上乌龟。

其实这种说法不正确。常识告诉我们，追上乌龟的时刻是s/(v1-v2)。

Tn在变大，但它永远小于某个数，这个数就是s/(v1-v2)，所以时刻是有限的。而“永远追不上乌龟”的“永远”是指时刻无限，这就产生矛盾，所以这个结论本身是错误的。

那为什么按他的理论却追不上呢？其实我们重新审视一下，推导出的结果反映出如下事实：T0时刻，D0>0；T1时刻，D1>0；T2时刻，D2>0；…Tn时刻，Dn>0。

而

也就是说Tn始终小于s/(v1-v2)，另外由Dn的表达式，我们可以得出Dn始终大于0。也就是说，在时刻s/(v1-v2)之前，Dn>0。这个不是废话吗？在该时刻之前显然不会追上乌龟啊。这个不是显然正确吗？

该悖论描述的始终是s/(v1-v2)时刻之前的事情，悖论说“追不上乌龟”也只是说“该时刻之前追不上”。该悖论可没说在时刻s/(v1-v2)会发生什么，也没说时刻s/(v1-v2)之后会发生什么。所以这个悖论就合理了，就不是悖论了。

现在大家知道为什么会出现这种情况了吧？时间是两个时刻的间隔。一段时间有一个开始时刻和一个结束时刻。该悖论的思路，其实是把一段时间无限分割，得出这段时间里的结论，也就是说在这段时间内的每个时刻，阿基里斯不会追上乌龟，因为时刻是无限的，在这些无限的时刻中的每个时刻，阿基里斯都不会追上乌龟，大家就以为永远也追不上了。这就好比你十一点吃饭，但十点五十九分到十一点这段时间你没有吃饭，由于这段时间里有很多时刻，我们可以拿照相机拍下尽可能多的照片，比如一亿亿亿亿亿亿亿张。然后大家一看，这么多照片都显示你没吃饭，那这样下去你肯定吃不到饭了。11点时你已经开始吃饭了，但没有11点的照片，所以别人看不到你吃饭的照片，还是觉得你没有吃饭。也许有11点前那一瞬间的照片，可那时你还没有开始吃饭。同样，追乌龟这个悖论只说[0,s/(v1-v2))（前面是闭，后面是开）发生了什么，始终没有说这段时间的结束时刻会发生什么。结束时刻就是时刻s/(v1-v2)，此时D=0，就追上了。但在悖论中，讨论的时刻范围中的每个时刻都小于s/(v1-v2)，所以这个结束时刻总是达不到，当然也就不可能追上了。

当然会有人问当n为无穷大时，Tn不就是s/(v1-v2)吗，Dn不就是0吗？这种说法不正确。首先要理解无穷大的含义。

一个正整数n不可能是无穷大，无穷大不是一个数。一个正整数n只能趋于无穷大，无穷大只是一个概念，它不是一个数。当n趋于无穷大时，Tn趋于s/(v1-v2)，但不是说Tn就是s/(v1-v2)，它可能是s/(v1-v2)，也可能是一个与s/(v1-v2)很接近的数。根据前面推导，我们已经知道Tn<s/(v1-v2)，所以Tn不可能是s/(v1-v2)，只是一个与s/(v1-v2)很接近的数。

看数学定义就可以说明问题。

这个才是无穷大的真正内涵，根本不是说“在某些条件下Tn就是s/(v1-v2)”。

同样，Dn也不可能是0，只是在n趋于无穷大时Dn趋于0罢了。

回到之前，我们还可以得出Dn与Tn的关系，这就是两者距离与时刻的关系。

即当T趋于s/(v1-v2)时，D趋于0。但不是说D就是0。根据Dn的表达式，我们知道Dn总是大于0。

也就是说当T趋于s/(v1-v2)时，两者距离趋于0，但始终不为0。只有s/(v1-v2)时刻才为0，但这个时刻不在悖论讨论的范围内，所以在悖论讨论的范围内，距离也不可能达到0。

这里类似函数连续的概念。

如果f(x)在x=c处连续，那么当x趋于c时，f(x)趋于f(c)。但是如果x不达到c，始终在c附近转悠，则f(x)可能恒不等于f(c)。

好了，我觉得我已经分析得比较到位了。如果有错误，欢迎指正。