程序员面试100题：求子数组的最大和

1.题目

   输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

       例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

2.算法初级分析

   刚开始接触，我们肯定会想用遍历数组求和来解决问题，如果不考虑时间复杂度，我们可以枚举出所有子数组并求出他们的和。但显然那样做的话没有什么算法含量，过于暴力了，没有编程艺术的气息。并且题目要求时间复杂度为O(n)，长度为n的数组有 ((n+1)*n)/2 个子数组（即为O(n2) ），而且求一个长度为n的数组的和的时间复杂度为O(n)，因此这种思路的时间是O( n3 )。

int MaxSum(int* A, int n)
{
 int maximum = -INF; 
 int sum=0;   
 for(int i = 0; i < n; i++)
 {
  for(int j = i; j < n; j++)
  {
   for(int k = i; k <= j; k++)
   {
    sum += A[k];
   }
   if(sum > maximum)
     maximum = sum;

sum=0;   

  }
 }
 return maximum;

} 

第二种解法：

int maxsum(int a[n])      {      int max=a[0];          int sum=0;      for(int j=0;j<n;j++)      {          if(sum>=0)                 sum+=a[j];          else                 sum=a[j];         if(sum>max)              max=sum;      }      return max;  }    int main()  {      int a[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5};      cout<<maxsum(a)<<endl;      return 0;  }  

第三种解法：

动态规划：设sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，result 为已找到的子数组中和最大的。对第i+1个元素有两种选择：做为新子数组的第一个元素、放入前面找到的子数组。
sum[i+1] = max(a[i+1], sum[i] + a[i+1])
result = max(result, sum[i])

3.编程之美的代码

下面给出《Data structures and Algorithm analysis in C》中4种实现

//Algorithm 1:时间效率为O(n*n*n)  int MaxSubsequenceSum1(const int A[],int N)  {      int ThisSum=0 ,MaxSum=0,i,j,k;      for(i=0;i<N;i++)          for(j=i;j<N;j++)          {              ThisSum=0;              for(k=i;k<j;k++)                  ThisSum+=A[k];                            if(ThisSum>MaxSum)                  MaxSum=ThisSum;          }          return MaxSum;  }    //Algorithm 2:时间效率为O(n*n)  int MaxSubsequenceSum2(const int A[],int N)  {      int ThisSum=0,MaxSum=0,i,j,k;      for(i=0;i<N;i++)      {          ThisSum=0;          for(j=i;j<N;j++)          {              ThisSum+=A[j];              if(ThisSum>MaxSum)                  MaxSum=ThisSum;          }      }      return MaxSum;  }    //Algorithm 3:时间效率为O(n*log n)  //算法3的主要思想：采用二分策略，将序列分成左右两份。  //那么最长子序列有三种可能出现的情况，即  //【1】只出现在左部分.  //【2】只出现在右部分。  //【3】出现在中间，同时涉及到左右两部分。  //分情况讨论之。  static int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right)  {      int MaxLeftSum,MaxRightSum;              //左、右部分最大连续子序列值。对应情况【1】、【2】      int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;  //从中间分别到左右两侧的最大连续子序列值，对应case【3】。      int LeftBorderSum,RightBorderSum;      int Center,i;      if(Left == Right)Base Case          if(A[Left]>0)              return A[Left];          else              return 0;          Center=(Left+Right)/2;          MaxLeftSum=MaxSubSum(A,Left,Center);          MaxRightSum=MaxSubSum(A,Center+1,Right);          MaxLeftBorderSum=0;          LeftBorderSum=0;          for(i=Center;i>=Left;i--)          {              LeftBorderSum+=A[i];              if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)                  MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;          }          MaxRightBorderSum=0;          RightBorderSum=0;          for(i=Center+1;i<=Right;i++)          {              RightBorderSum+=A[i];              if(RightBorderSum>MaxRightBorderSum)                  MaxRightBorderSum=RightBorderSum;          }          int max1=MaxLeftSum>MaxRightSum?MaxLeftSum:MaxRightSum;          int max2=MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum;          return max1>max2?max1:max2;  }    //Algorithm 4:时间效率为O(n)  //同上述第一节中的思路3、和4。  int MaxSubsequenceSum(const int A[],int N)  {      int ThisSum,MaxSum,j;      ThisSum=MaxSum=0;      for(j=0;j<N;j++)      {          ThisSum+=A[j];          if(ThisSum>MaxSum)              MaxSum=ThisSum;          else if(ThisSum<0)              ThisSum=0;      }      return MaxSum;  }